Что представляет боковая поверхность конуса
Инструменты пользователя
Инструменты сайта
Боковая панель
Стереометрия:
Контакты
Конус
Конусом ( прямым круговым конусом ) называется тело, состоящее из круга ( основания конуса ), точки, не лежащей в плоскости этого круга ( вершины конуса ), и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.
Конус — тело, которое ограничено конической поверхностью и плоскостью, на которой лежат концы образующих конической поверхности.
Коническая поверхность — поверхность, которая образуется движением отрезка, один из концов которого неподвижен, а другой перемещается на плоскости вдоль некоторой кривой. Отрезки называют образующими конической поверхности, а кривую – направляющей. Неподвижная точка – вершина конической поверхности.
Боковая поверхность конуса — часть конической поверхности, ограниченная плоскостью.
Основание конуса — часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью конуса.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания (См.Рис.1). В противном случае, конус называется наклонным. В школьном курсе изучается прямой круговой конус.
Круговой конус — конус, у которого в основании круг.
Прямой круговой конус ( просто конус ) — круговой конус, у которого прямая, соединяющая вершину конуса с центром круга, лежащего в основании, перпендикулярна плоскости основания.
Ось конуса — прямая, проходящая через вершину конуса и центр основания конуса.
Высота конуса — отрезок оси конуса, соединяющий вершину конуса с центром основания.
Конус можно рассматривать как тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет.
Образующие конуса совпадают с образующими конической поверхности.
Сечение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. См.Рис.2.
Развёртка боковой поверхности конуса — круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.
Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, параллельным плоскости основания. См.Рис.3.
Видео-решение.
Инструменты страницы
Записаться на занятия
Боковая поверхность конуса обычного и усеченного. Формулы и пример решения задачи
При рассмотрении фигур в пространстве часто возникают проблемы определения их площади поверхности. Одной из таких фигур является конус. Рассмотрим в статье, что представляет собой боковая поверхность конуса с круглым основанием, а также усеченного конуса.
Конус с круглым основанием
Прежде чем переходить к рассмотрению боковой поверхности конуса, покажем, что это за фигура и как ее получить геометрическими методами.
Возьмем прямоугольный треугольник ABC, у которого AB и AC являются катетами. Поставим этот треугольник на катет AC и будем его вращать вокруг катета AB. В результате стороны AC и BC опишут две поверхности фигуры, которая показана ниже.
Полученная вращением фигура называется круглым прямым конусом. Круглый он потому, что его основание является кругом, а прямой потому, что проведенный из вершины фигуры (точка B) перпендикуляр пересекает круг в его центре. Длина этого перпендикуляра называется высотой. Очевидно, что она равна катету AB. Высоту принято обозначать буквой h.
Помимо высоты, рассматриваемый конус описывается еще двумя линейными характеристиками:
Коническая поверхность
Совокупность всех генератрис образует коническую или боковую поверхность конуса. По внешнему виду ее трудно сказать, какой плоской фигуре она соответствует. Последнее важно знать при определении площади конической поверхности. Для решения этой проблемы используют метод развертки. Он заключается в следующем: вдоль произвольной генератрисы мысленно разрезают поверхность, а затем разворачивают ее на плоскости. При таком способе получения развертки образуется приведенная ниже плоская фигура.
Площадь конической поверхности Sb равна произведению двух параметров и числа Пи.
Усеченный конус и его поверхность
Боковая поверхность Sb рассчитывается так:
Генератриса, радиусы и высота связаны между собой следующим равенством:
Задача с равенством площадей фигур
Дан конус, у которого высота равна 20 см, а радиус основания составляет 8 см. Необходимо найти высоту усеченного конуса, боковая поверхность которого будет иметь ту же площадь, что у данного конуса. Усеченная фигура построена на том же основании, а радиус верхнего основания равен 3 см.
В первую очередь запишем условие равенства площадей конуса и усеченной фигуры. Имеем:
Теперь запишем выражения для генератрис каждой фигуры:
Подставим g1 и g2 в формулу для равенства площадей и возведем в квадрат левую и правую части, получим:
R2*(R2 + h12) = ((R-r)2 + h22)*(r + R)2
Откуда получаем выражение для h2:
Не будем упрощать это равенство, а просто подставим известные из условия данные:
Таким образом, чтобы были равны площади боковых поверхностей фигур, усеченный конус должен иметь параметры: R = 8 см, r = 3 см, h2 ≈ 14,85 см.
Что такое конус: определение, элементы, виды
В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и виды одной из самых распространенных фигур в пространстве – конуса. Представленная информация сопровождается соответствующими рисунками для лучшего восприятия.
Определение конуса
Далее мы будем рассматривать самый распространенный вид конуса – прямой круговой. Остальные возможные варианты фигуры перечислены в последнем разделе публикации.
Итак, прямой круговой конус – это трехмерная геометрическая фигура, полученная путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из своих катетов, который в данном случае будет являться осью фигуры. Ввиду этого иногда такой конус называют конусом вращения.
Конус на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ACD (или BCD) вокруг катета CD.
Основные элементы конуса
Между образующей конуса, его высотой и радиусом основания есть взаимосвязь (согласно теореме Пифагора):
Развёртка конуса – боковая поверхность конуса, развернутая в плоскость; является круговым сектором.
Примечание: Основные свойства конуса мы рассмотрели в отдельной публикации.
Боковая поверхность конуса: площадь как найти?
Каждая объемная фигура, которая имеет конечные линейные размеры, обладает в пространстве некоторой площадью поверхности. В статье рассмотрим, чему равна площадь боковой поверхности конуса, приведем соответствующие формулы и покажем, откуда они выводятся.
Что такое конус?
В общем случае конусом в геометрии называют любую пространственную фигуру, которая образована в результате соединения фиксированной точки пространства со всеми точками некоторой плоской кривой. Фиксированная точка называется вершиной фигуры. Отрезки, соединяющие ее с кривой, получили название генератрис, или образующих, поскольку их совокупность образует коническую поверхность. Кривая, на которую опирается эта поверхность, называется директрисой, то есть направляющей. Директрисой может быть произвольная кривая, например, гипербола, окружность, парабола, эллипс и так далее. Образованный на них конус будет гиперболическим, круглым, параболическим и эллиптическим, соответственно.
Вам будет интересно: Пятерка популярных самарских университетов
Выше рисунок демонстрирует пример двух одинаковых эллиптических конусов, обращенных друг к другу своими вершинами.
Круглый конус
Вам будет интересно: Что значит «курва» для поляка, а что – для древних римлян?
Площадь боковой поверхности конуса будем рассматривать на примере круглой прямой фигуры. Такой конус представляет собой круглое основание, на которое опирается коническая поверхность. Эта фигура показана ниже.
Все генератрисы этой фигуры равны между собой. Их длина всегда больше радиуса основания. Расстояние от вершины конуса до его круглого основания называется высотой. Высота пересекает круг в его центре, поэтому конус называется прямым.
Получить этот конус не представляет никакой сложности. Для этого следует взять любой треугольник, имеющий прямой угол, и вращать его вокруг одного из катетов так, как показано ниже на схеме.
Если обозначить гипотенузу этого треугольника буквой g, а его катеты h и r, тогда будет справедливо равенство:
Чему равна боковая поверхность конуса с круглым основанием?
Эта развертка показывает, что площадь боковой поверхности конуса равна площади соответствующего кругового сектора. Он ограничен двумя генератрисами g, которые представляют радиус полного круга, и дугой. Длина последней точно равна длине окружности основания. Получим формулу для площади этого сектора.
Сначала определим угол в радианах, соответствующий дуге сектора. Его можно найти с использованием следующей пропорции:
x = 2*pi*r*2*pi/(2*pi*g) = 2*pi*r/g.
Для определения площади рассматриваемого сектора, следует воспользоваться пропорцией через соответствующие площади. Имеем:
Sb = pi*g2*2*pi*r/g/(2*pi) = pi*r*g.
Таким образом, чтобы найти площадь конической поверхности, достаточно умножить радиус фигуры на ее директрису и на число пи.
При получении конечной формулы для Sb через пропорции использовалось свойство равенства угла полной окружности числу 2*pi радиан.
Понятие о конусе усеченном
Пусть имеется круглый прямой конус. Возьмем плоскость и отсечем от этой фигуры верхнюю часть таким образом, чтобы секущая плоскость прошла параллельно основанию конуса. Оставшаяся под плоскостью фигура называется прямым усеченным конусом с параллельными основаниями. Он показан на рисунке ниже.
В отличие от исходной фигуры, усеченный конус образован тремя поверхностями:
Последняя в списке является боковой поверхностью для рассматриваемой фигуры.
Между отмеченными линейными параметрами существует следующая связь:
Боковая поверхность усеченной фигуры
Выше было сказано, что представляет собой боковая поверхность для конуса усеченного. Разрезая ее вдоль одной из генератрис, получим следующий результат.
x = 2*pi*r1/g = 2*pi*r2/(g-l) =>
Искомая площадь Sb равна разнице площадей секторов, построенных с помощью радиусов g и g-l. Используя формулу для площади сектора, полученную выше, можно записать:
Подставляя в это выражение формулу для g, получаем конечное равенство для площади боковой поверхности конуса усеченного:
Задача на определение площади конической поверхности
Решим простую задачу. Необходимо найти площадь боковой поверхности конуса, если известно, что его высота h равна диаметру основания, а генератриса составляет 15 см.
Запишем соответствующую формулу для Sb, из которой будет видно, какие величины следует рассчитать. Имеем:
Значение генератрисы g известно из условия задачи. Остается определить радиус фигуры.
Генератриса, высота и радиус связаны друг с другом следующим равенством:
Из условия следует, что 2*r = h. Подставляя значение h в выражение, получим:
Теперь формулу для радиуса основания подставляем в выражение для Sb, получаем:
Мы получили конечную формулу, из которой видно, что площадь искомой поверхности зависит только от длины генератрисы. Подставляя g = 15 см, получаем ответ на задачу: Sb ≈ 315,96 см2.
Что представляет боковая поверхность конуса
рисунок 1 рисунок 2
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания (рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, перпендикулярна плоскости основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой конус, называя его для краткости просто конусом. Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси (рис.2).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
рисунок 3 рисунок 4
рисунок 5 рисунок 6
Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая конус, отсекает от него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом (рис. 6).
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж¬ность основания конуса, а вершиной является вершина конуса (рис. 7). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус, яв¬ляются образующими конуса.
 рисунок 7 | Задача №2: У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что она является вписанной в некоторый конус. Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины пирамиды на плоскость основания (рис. 7) и обозначим длину боковых ребер пирамиды через l. Вершины основания удалены от точки О на одно и то же расстояние. Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у которого вершиной является вершина пирамиды, а основанием — круг с центром О и радиусом R. |
