Чем математика помогает в жизни
Зачем нужна математика
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Интересные факты про математику
Математика — это не только арифметические задачки. Это особый язык, который учит думать и рассуждать.
Математику называют междисциплинарной наукой, потому что она тесно связана с физикой, географией, геологией, химией. Социология и экономика неотделимы от математики, поэтому многие выводы из гуманитарных исследований опираются на математические понятия и логические законы.
Мир изменился и стал более технологичным, поэтому для любителей математики открыто множество вариантов профессионального развития.
Если 15 лет назад перспективными были сферы маркетинга и юриспруденции, то сегодня лидирует IT.
Профессиональная востребованность = понимание технологий + способность к решению нестандартных задач. И ключ к успеху — знание математики.
Что отличает математику от других школьных предметов:
Математика развивает мышление
Зачем заниматься физкультурой? Ответ простой — для здоровья и красоты тела.
Зачем учить математику? Ответ на этот вопрос кажется менее очевидным.
Математика — это гимнастика для ума. Хочешь не хочешь, но в процессе изучения будут крепчать качества, которые влияют на способ мышления. Для этого не обязательно учиться в профильном классе и участвовать в олимпиадах — решение даже самых простых задачек на пропорции или с процентами дает значительный эффект.
Обобщение, сокращение, анализ, систематизация, выделение важного, поиск закономерностей, формулирование гипотез и доказательство теорий — все это помогает развить мышление, сделать его более гибким. Точно также, как физические упражнения делают наше тело подвижнее, дают заряд сил и тренируют выносливость, математика тренирует ум.
Математика развивает интеллект. Набор правил и функций, которые мы изучаем в школе, делают наше мышление последовательным и логичным. Это отражается на умении рассуждать, формулировать мысли и замечать взаимосвязи. И самое увлекательное, что эти знания можно (и нужно!) применять не только в школе, но и в нестандартных ситуациях: чтобы выбрать самую выгодную банковскую карту, просчитать литры краски для ремонта или создать карту сокровищ, чтобы не забыть где они спрятаны.
Математика — универсальный международный язык, которым владеют почти все люди на земле. Эти знания пригодятся в любой стране и могут стать предметом интересной беседы.
Что понять, зачем учить математику в школе, только представьте, как приятно, когда в голове нет «каши» и путаницы в рассуждениях. На этот счет еще в прошлом веке великий учёный Ломоносов сказал: «Математику только затем учить надо, что она ум в порядок приводит». Как тут можно спорить? 😇
Математика формирует характер
Чтобы правильно решать математические задачи, недостаточно одних лишь знаний. Нужны такие качества характера, как внимательность, настойчивость, последовательность, точность и аккуратность. Чем регулярнее мы практикуемся, тем сильнее укрепляются эти черты. И еще бонус: эти качества можно применять не только на уроках в школе, но и в других сферах жизни.
Чем сложнее математические задачи, тем больше усилий и навыков нужно приложить для их решения.
Благодаря математике можно избавиться от вредных привычек:
Домысливать и не уметь объяснять, почему думаешь именно так
Оперировать фактами и точными терминами и быть более убедительным
Запоминать информацию механически, «зазубривать»
Оценивать, анализировать, строить аналогии и подвергать критике
Математика тренирует память
Ученые из Стэнфордского университета в США изучили, как человек решает математические задачи и выяснили, что взрослые люди используют для этого навык «доставать» из памяти ответы на основе прошлого опыта.
Почему учителя настаивают на регулярном посещении уроков? Дело не в их вредности, а в том, что при решении математических задач, мы «достаем» из памяти ответы на основе прошлого опыта. А чтобы этот опыт закрепить, нужно повторять материал и тренироваться в решении примеров. Только так можно запомнить все правила и формулы. 🤓
В журнале Nature Neuroscience в 2014 году опубликовали исследование про роль определенных областей головного мозга в развитии познавательной активности детей. Оказалось, что на интерес к знаниям оказывает сильное влияние гиппокамп — часть мозга, которая отвечает за память.
Интересный факт! Определенные области головного мозга влияют на развитие познавательной активности детей. Например, на интерес к знаниям влияет часть мозга, которая отвечает за память — гиппокамп. Поэтому:
Математика — волшебница, не иначе! Систематизируем все волшебные свойства и повторим, какие навыки можно развить с помощью математики:
Применение математики в повседневной жизни
Математику не нужно учить как задачу.
Ее нужно усвоить как составляющую ежедневного мышления.
Почти всех в школе интересует вопрос “зачем математика в повседневной жизни?” и преподаватели редко могут дать ответ, который удовлетворит интерес. Поэтому в этой статье я приведу некоторые мысли и идеи из книги “Как никогда не ошибаться. Сила математического мышления” Джордана Элленберга и надеюсь, это поможет.
Скорее всего вам не пригодится большинство формул, которые вы учили, но это не означает что они бесполезны для вас. Можно привести аналогию с игрой в футбол:
На тренировке по футболу помимо самой игры всегда присутствуют физические упражнения. Они не являются футболом, однако развивают силу, скорость, выносливость, а значит, подготавливают к игре.
Школьные задачи по математике, будь то упрощение дробно-рациональных выражений или преобразование тригонометрических формул, также являются подготовкой: либо к тому, чтобы продолжить заниматься математикой профессионально, либо к тому, чтобы просто “играть в свое удовольствие” и четче видеть картину мира, избежать множества ошибок в своей жизни.
Систематическая ошибка выжившего:
Во времена второй мировой войны у военных стоял важный вопрос укрепления самолета дополнительной броней. Нужно было выбрать ту его часть, укрепление которой в разы повысит количество самолетов, которые вернутся на базу. Военные полагали, что укрепить нужно фюзеляж, ведь именно он был наиболее поврежден на вернувшихся из боя самолетах. Пробоин же в части, где располагался двигатель, практически не было.
Учитывая тему статьи, не удивительно, что на помощь военным пришли математики. Изучая места пробоин вернувшихся самолетов, Абрахам Вальд рекомендовал укрепить те части, на которых меньше всего пробоин. Для военных такое решение казалось, мягко говоря, странным. Однако оно было основано на простом утверждении: самолеты, которые получают повреждения в этих местах, просто не долетают на базу.
Может показаться что математика здесь вовсе и не причем. Но даже если вы посмотрите на заметки Вальда — вы убедитесь, что математика еще как причем. Да и именно математика научила его задавать правильные вопросы: “Из каких предположений мы исходим? Обоснованны ли они?”
Зная о систематической ошибке выжившего — как знал о ней Вальд, вы будете готовы обнаружить подобный подвох в других ситуациях, где бы он не скрывался!
Опасность линейного мышления:
Сейчас речь пойдет о линейной регрессии, как о довольно функциональном инструменте математики, который однако нельзя бездумно применять везде. И чтобы не загромождать статью определениями, я приведу пример из мемуаров Марка Твена “Жизнь на Миссисипи”:
“…длина Миссисипи между Каиром и Новым Орлеаном 176 лет тому назад была 1215 миль. После прорыва русла в 1722 году длина стала 1180 миль. Когда образовался рукав у Американской излучины, длина стала 1040 миль. С тех пор этот участок реки укоротился еще на 67 миль. Следовательно, сейчас ее длина между Каиром и Новым Орлеаном всего 973 мили.
Рассуждения которыми воспользовался Марк Твен соответствуют модели линейной регрессии. Прочитав это, сначала кажется что вроде даже все логично — посчитал среднюю скорость уменьшения длины реки, а затем посчитал, что произойдет, если такая же тенденция сохранится. Однако также есть ощущение, что что-то здесь не так и на самом деле то, о чем он пишет, не произойдет. Так и есть, потому что здесь линейная регрессия не работает. Так же, как она не работает и в статьях под названиями: “все американцы будут с избыточным весом к 2048 году”, “в странах, где больше фастфуда “Бургер Кинг”, снижается уровень морали”, или что “витамин В3 удваивает риск грибка на ногах”.
То, что за последние годы выросло число американцев с лишним весом, — это факт. И если взять среднюю скорость увеличения их числа и воспользоваться линейной регрессией, то выясним что к 2048 году ВСЕ американцы растолстеют. Окей. Давайте теперь исследуем таким же образом чернокожих мужчин американцев — они все растолстеют к 2095 году. Но стоп, хм. Они ведь должны были это сделать к 2048 году. Что-то тут не так…
Если вы будете знать и помнить о подобных ошибках — вам будет легко распознать абсурдность многих утверждений, которые неумело пытаются аргументировать математическими подсчетами.
За сколько нужно приехать в аэропорт?
Нет, на самом деле здесь вы не найдете конкретное число часов и минут, за которое лучше всего приезжать в аэропорт, однако поймете как оценить все риски и выбрать лучший вариант для себя.
Здесь мы будем пользоваться таким понятием как ожидаемая ценность или математическое ожидание. Но для начала возьмем немного статистических данных:
Вариант 1. Прибытие в аэропорт за 2 часа до вылета, опоздание на самолет в 2 % случаев.
Вариант 2. Прибытие в аэропорт за 1,5 часа до вылета, опоздание на самолет в 5 % случаев.
Вариант 3. Прибытие в аэропорт за 1 час до вылета, опоздание на самолет в 15 % случаев.
И будем использовать ютиль как единицу измерения ценности нашего времени. Пускай один час нашего времени дома стоит х= 1 ютиль. В то время как опоздание на самолет можно оценить гораздо выше (в зависимости от количества часов, которые вам придется там провести, и оттого насколько для вас это неприятно, или насколько важное событие запланировано по прилету и т.д.), для примера оценим опоздание как у= 6 ютилей.
Считаем математическое ожидание (это среднее значение случайной величины):
По сути мы получили среднюю ценность — количество ютиль, которые мы в среднем “потеряем”.
Получается что во втором варианте (приезд за 1.5 часа до вылета) — потери будут наименьшими.
Да, надолго застрять в аэропорту — утомительно и неприятно, но если вы часто летаете, то разве это настолько неприятно, чтобы раз за разом проводить лишних полчаса в терминале, чтобы сократить и без того небольшой шанс опоздать на самолет?
Почему мы допускаем существование подобных ситуаций? Ответ прост: устранение потерь имеет свою цену, так же как заблаговременное прибытие в аэропорт. Обеспечение соблюдения правил и бдительность — это достойные цели, но устранение всех потерь, подобно устранению малейшей вероятности опоздать на самолет, влечет за собой затраты, которые перевешивают преимущества.
И в жизни действительно часто бывают такие ситуации:
Нам стоит оценивать риски и, если они очень и очень малы, то попытка их уменьшить еще сильнее может обойтись очень ”дорого”.
Картинка показывает, что и слишком заблаговременный приезд в аэропорт(за 4 часа), и приезд сломя голову (за 15 минут) сохранит вам меньше “ценных” часов, чем какой-то промежуточный вариант.
В книге Джордана Элленберга вы также сможете найти ответы на вопросы:
И как вывод хочу сказать:
“Математика — это продолжение здравого смысла, но только другими средствами.”
РОЛЬ РЕАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА
Обобщение и распространение в педагогических коллективах опыта практических результатов своей профессиональной деятельности
Направление: Современные технологии в сельском хозяйстве
РОЛЬ РЕАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА
преподаватель математики и информатики
Тюнгюлюнского филиала ГБПОУ РС (Я) «ЯСХТ»
1. Теоретические основы
2. Практическое исследование
2.1 математика в жизни человека……………………. 7
РОЛЬ РЕАЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА
преподаватель Тюнгюлюнского филиала
ГБПОУ РС (Я) «Якутский сельскохозяйственный техникум».
В докладе рассмотрен вопрос о роли реальной математики в повседневной жизни человека. Для активизации познавательной деятельности учащихся составлены задачи по текстовой и реальной математике, тем самым повысила интерес к урокам математики.
Ключевые фразы: Реальная математика, арифметика, логическое мышление, семейный бюджет, связь с жизнью.
Однажды у меня возник вопрос «А для чего нужна математика? Для чего мы учим различные уравнения и теоремы? Мы же пользуемся математикой только в магазине при покупке продуктов. Почему мы ее изучаем с детского сада?» А я попыталась узнать всю важность этого предмета.
Математика окружает нас везде. Благодаря ей мы решаем множество вопросов в повседневной жизни. Мало кто задумывался, что математика окружает нас с первых дней жизни. Любой ребенок даже, который не изучал арифметику сталкивался с цифрами. Он узнает в поликлинике свой вес, рост, так же ему известен его возраст. А еще он не один раз за день столкнется с различными задачами по подсчету игрушек в комнате или конфет, чтобы угостить своих друзей.
С возрастом мы решаем все больше и больше задач: Какое количество продуктов нужно купить, чтобы хватило на неделю? Сколько нужно зарабатывать, чтобы накопить на дачу и поездки за границу? Сколько краски нужно купить, чтобы покрасить стены в спальне?
В школе мы изучаем математику с первого класса и до окончания школы, потом математике нас учат в университете. С каждым годом курс расширяется становиться более углубленным, все больше предметов связанно с математикой. В средней школе у нас появляется алгебра и геометрия в замен арифметике. Наш кругозор расширяется. Мы можем понимать, видеть то, что раньше нам казалось не ясным. Математические науки развивают наше мышление, учат нас соображать.
Без знания математики вся современная жизнь была бы невозможна. У нас не было бы хороших домов, потому что строители должны уметь измерять, считать и сооружать. Наша одежда была бы очень грубой, так как ее нужно хорошо скроить, а для этого точно все измерить. Не было бы ни железных дорог, ни кораблей, ни самолетов, никакой большой промышленности. Не было бы радио, телевидения, кино, телефона и тысячи других вещей, составляющих часть нашей цивилизации. Использование математики, измерение «насколько?», «как долго?» являются жизненно необходимой частью мира, в котором мы живем.
Благодаря математике появились вычислительные счетные машины. Вычислительная техника прошла путь от простых счётов, арифмометров, логарифмических линеек до микрокалькуляторов и компьютеров. Сейчас вычислительные машины используются во всех отраслях народного хозяйства: в статистике, торговле, автоматизированном управлении заводами и фабриками. Машины не только считают, они могут делать переводы с одного языка на другой, могут сочинять музыку, играть в шахматы.
Проблема: В начале учебного года мною проведено анкетирование в обучаемых группах: «мастер животноводства», «тракторист-машинист 2 курс», «тракторист-машинист 3 курс». В целях получения информации уровня обучающихся и выявлены, что интерес учащихся к уроку математики был не очень высокий.
Актуальность : В нашей повседневной жизни мы настолько привыкли к математике, что даже не замечаем, что пользуемся ею постоянно. А ведь до сих пор студенты задают вопрос «А зачем нам нужна математика? Только в магазин сходить?». Так для чего же мы изучаем дроби, площадь, периметр, объем? Для чего нужны геометрические сведения? Где каждому человеку математика необходима в повседневной жизни? А что будет, если математику совсем не знать? Необходимо рассмотреть все виды своей деятельности и доказать, что без математики не обойтись в быту.
Цель : Изучить, где математика встречается в жизни и доказать ее необходимость.
Задачи :1. Изучить виды деятельности, где человеку не обойтись без математики.
2. Ответить на вопросы: Зачем нужна математика? Что может дать математика каждой отдельной личности?
3. Составление примеры задач по текстовой и реальной математике.
Гипотеза : Математика в нашей жизни необходима не только в определенных профессиях, но и в повседневной жизни.
«Математику уже затем
изучать следует, что она ум в
С древних времен в своей повседневной жизни человек не мог обойтись без счета. У каждого народа необходимость в простейших арифметических подсчетах возникала задолго до появления первых зачатков письменности, потому что постижение Мира во всем его многообразии постоянно требовало количественной оценки обретенных знаний. Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был нужен, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя им различные части тела, главным образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех ᴏϲʜовных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность.
Математика в жизни человека.
Многие известные математики говорят, что главное в математике — научить человека мыслить, ставя порою перед ним очень сложные задания. «Математика развивает логическое мышление, умение самостоятельно решать проблемы, способность быстро уловить суть и найти к жизненной задаче наиболее подходящий и простой подход»- говорят нам взрослые. Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу и не такая уж она серая и скучная, а разноцветная и веселая.
Осенью я решила провести опрос студентов нашего техникума и выяснить насколько они осознают значимость математики в повседневной жизни. Ребятам разного возраста было предложено продолжить фразу: « Я изучаю математику потому, что…» со следующими вариантами ответов:
StudyInFocus
Высшее образование в Германии
News Articles
Возможно вы ищите.
Blog Posts
Для чего нужно учить математику
Идея среднего школьного образования заключается в том, чтобы развить детей разносторонне, дать им комплексные знания об окружающем мире, научить мыслить и выражать свою точку зрения. Поэтому в школьную программу включены гуманитарные, точные и естественные дисциплины.
Но у каждого человека свои склонности, и, с удовольствием изучая один предмет, школьник может от души ненавидеть другой, потому что он кажется сложным. Дети часто спрашивают, для чего им нужен тот или иной предмет. Они не видят связи между изучением его в теории и применением в реальной жизни.
Зачем нужна математика и как она может пригодиться в жизни и работе
Математика — это фундаментальная наука, базовые принципы которой используются в большинстве других наук. Оперируя абстрактными понятиями, она дает возможность выстраивать математические модели любых реальных процессов, поэтому может иметь прикладной характер.
Интересно!
Великие умы прошлого считали эту науку основой образования. К примеру, гениальный ученый Ломоносов, как известно, обладавший универсальным умом, считал, что математика приводит в порядок ум, и уже только поэтому ее необходимо изучать. Английский естествоиспытатель Роджер Бэкон говорил, что, не зная математики, не только невозможно изучать другие науки, но даже и собственное невежество обнаружить нельзя.
Занятия математикой приносят много пользы:
Таким образом, для развития интеллекта и навыка комплексного мышления эта дисциплина просто необходима.
Применение математики мы постоянно наблюдаем в повседневной жизни. Все архитектурные конструкции, мебель и бытовые приборы, которые нас окружают, просчитаны математически. Математические модели используются для расчета движения транспорта, работы торговли. Любой человек постоянно занимается планированием с привлечением математических методов: рассчитывает бюджет, планирует путешествия и расписание дня. Математика настолько вплетена в нашу жизнь, что мы ее не замечаем.
Математика лежит и в основе многих профессий:
Все эти профессии — базовые, они в любые времена сохраняют актуальность.
Современная тенденция на рынках труда, особенно в развитых странах — замена рутинного человеческого труда роботами. Специальности, для которых нужно учить математику — наукоемкие, а значит, такого специалиста роботом не заменить.
Постоянно появляются новые специальности, основанные на взаимодействии нескольких дисциплин. В СНГ они не всегда доступны для освоения, так как наша образовательная система настроена, скорее, на сохранение академических традиций, чем на гибкость и передовой подход.
Другая ситуация с образованием в Германии. Здесь традиционно много математических профессий, а вузы нацелены, прежде всего, на то, чтобы их студенты получали актуальные, востребованные специальности, которые позволят им быстро трудоустроиться после учебы и успешно строить карьеру.
Вам также может быть интересно:
В немецких вузах доступны такие специальности с математикой, как: экономист-математик, юрист-экономист, экономист-химик, экономист-географ, экологический информатик, физик-экономист, урбанист, статистик и другие.
Какая из них подойдет вам — задача для карьерного ориентирования, которое, кстати, тоже использует математические методы.
Пройдите его, и получите не только ответы на интересующие вас вопросы о профессиональном самоопределении, но и конкретные сведения о том, где и как получить соответствующее образование.
Большой выбор востребованных направлений — не единственная причина, по которой нужно обратить особое внимание на немецкие университеты. Высшее образование в ФРГ бесплатное для всех студентов, включая тех, кто прибыл из-за рубежа, поступление — более простое, чем в СНГ, поскольку не требуются баллы за ЕГЭ, а документы можно подавать в неограниченное количество вузов. Заранее продумайте вместе со специалистом, как подобрать вузы с разным уровнем рейтинга, чтобы не упустить престижный вуз и подстраховаться на случай, если в него не зачислят. Наше время стоит очень дорого, и поступать лучше с первого раза.
Полученное в немецком вузе образование обеспечит вам большие перспективы в жизни. Вы сможете устроиться на работу в Германии, а проработав два года, получить вид на жительство.
Для чего математика нужна гуманитариям
Часто можно услышать: «Я гуманитарий, у меня от этой вашей математики голова кругом!» На самом деле, эту фразу можно перевести так: «У меня ленивый мозг, я хочу заниматься только тем, что легко дается».
Ведь речь не идет о том, чтобы, забыв о своей природе, становиться математиком. Умение просчитывать варианты, пользоваться математическими моделями необходимо любому человеку в быту.
Учить математику необходимо даже тем, кто твердо определился с выбором гуманитарной профессии, ведь она учит размышлять, выстраивать логические цепочки, планировать, а это — ценные навыки в любой профессии.
К примеру, такие гуманитарные профессии, как юрист или филолог, только выигрывают от того, что их представители умеют логически мыслить и рационально излагать результаты своих размышлений. Если вы — гуманитарий, но сильны в математике, вы будете на голову выше конкурентов.
Математическое мышление — это навык, который тренируется решением математических задач. Развитие навыков доступно всем, разница лишь в том, что математически одаренный человек разовьет их лучше других.
Учить математику должны и представители творческих направлений. Например, законы гармонии пропорций и цветовых сочетаний просчитаны математически, так же как гармония музыкальных и литературных произведений. Все, кто занимается творчеством профессионально, а не на любительском уровне, знают это.
Как начать учить математику с нуля
Нуль — в данном случае, скорее, фигура речи. Любой из нас учил основы математики еще в дошкольном, а затем и в школьном возрасте. Освоение только школьной программы уже дает хороший базовый уровень.
Проблемы возникают, когда в знаниях появляется пробел. Математика — наука последовательная. Если есть пробел в основах, дальнейшее ее изучение все больше затрудняется, а учащемуся кажется, что просто он не способен учить математику.
Поэтому изучение математики в рамках школьного курса с привлечением, по необходимости, репетитора — рациональный и эффективный способ.
Для развития математического мышления также подходят интеллектуальные игры, квесты, математические головоломки.
Как выучить математику во взрослом возрасте
В детстве людям часто непонятно, для чего учить математику или какой-либо другой предмет, особенно, если он усваивается не так легко, как хотелось бы. Грамотный учитель, который умеет подать сложную информацию в игровой форме, может привить ребенку любовь к своему предмету и заинтересовать на многие годы. Но что делать, если такой не встретился, учить математику в школе не хотелось, а спустя годы появилось понимание, насколько она необходима?
Интересно!
Человеку свойственна нейропластичность, которая позволяет осваивать новые знания и навыки даже в зрелом возрасте. Научные исследования показывают, что люди старше 30–40 лет, уже имеющие опыт получения образования, демонстрируют более высокую обучаемость, чем выпускники школ. Получить новое образование, например, в Германии — вполне реальная задача, доступная в среднем возрасте. Этот шаг может полностью изменить жизнь.
Имея базу, полученную в школе, взрослый человек может составить план по освоению математики:
Для некоторых целей достаточно будет освежить в уме школьный учебник или посмотреть видеолекции, для других — позаниматься на тренажерах, а иногда и поработать с репетитором и поступить на математический факультет.
Профессии, для которых нужно учить математику — востребованные и актуальные всегда. К сожалению, не все школьники осознают важность этой науки, но, даже если школьный курс прошел мимо, нет ничего не возможного для человека, который поставил перед собой цель. Цель получить образование, цель изменить свою жизнь. Учить математику можно и во взрослом возрасте. Это открывает широкие перспективы, например, поступление на бесплатную учебу в один из сотен немецких вузов, в которых огромное количество направлений, связанных с математикой. Сбор и отправка пакета документов в немецкий вуз — занятие, требующее поистине математической точности. Чтобы не ошибиться, доверьтесь помощи специалиста.