Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости полученных разными методами
I. Определение коэффициента жесткости пружины k
По ее удлинению
1. Подвесить к концу пружины держатель (рис. 1).
2. Пользуясь зеркальной шкалой, заметить начальное положение держателя l0 (отсчет делают таким образом, чтобы нижняя грань держателя совпала с его зеркальным изображением) и записать данные отсчета в табл. 1.
3. Постепенно нагружать держатель грузами (их масса в граммах намаркирована на них), записывая положение нижней грани держателя l1, для каждого значения растягивающей силы, соответствующей массе m грузов (масса держателя в m не входит).
4. Нагрузив держатель всеми грузами, начинают их по одному снимать, записывая положение нижней грани держателя l2 для каждогозначения m.
5. Вычислить среднее арифметическое величин 
и 
для каждой массы
.
6. Вычислить удлинение пружины для каждого значения массы грузов вычитая 
из соответствующего 
.
Таблица 1
| № п/п | l0, м | m, кг | l1, м | l2, м | lср, м | Dl, м |  |
 Dl |
| m |
| Рис. 2 |
7. Построить проходящий через начало координат график зависимости удлинения пружины Dl от массы m (рис. 2). По нему определить коэффициент жесткости пружины 
, взяв значения m и Dl для наиболее удаленной от начала координат точки усредненной прямой.
8. Рассчитать погрешность определения коэффициента жесткости по формуле
Для расчета погрешности следует использовать те значения m и 
, по которым рассчитывался коэффициент жесткости (определяются по графику), а в качестве 
, 
и 
взять абсолютную погрешность измерения удлинения и точности, с которыми задаются массы грузов и ускорение свободного падения. Результат расчета 
и погрешности его определения занести в табл. 1.
II. Определение коэффициента жесткости пружины
1. Поместить на держатель груз. Значение массы груза с держателем и результаты последующих измерений занести в табл. 2. Измерить секундомером время десяти полных колебаний маятника. Опыт повторить не менее четырех раз. Найти среднее значение времени tср десяти полных колебаний и среднее значение периода колебаний 
(n = 10), при расчетах оставляя на одну значащую цифру больше, чем в результатах наблюдений.
2. Подобные измерения провести для различных значений масс грузов (не менее четырех).
Таблица 2
| № п/п | Масса груза с держателем, m, кг | Время 10 колебаний | |||||
 , с |  , с |  , с |  , с |  , с |  , с |  |  |
3. По результатам проведенных измерений построить проходящий через начало координат график зависимости квадрата периода колебаний 
от массы m, предварительно рассчитав , для каждого значения m. Выбрав наиболее удаленную от начала координат точку на усредненной прямой, рассчитать коэффициент жесткости пружины по формуле
.
Здесь величины m и 
определяются по графику для выбранной точки.
4. Оценить погрешность полученного результата. В предположении, что ошибка в определении числа колебаний отсутствовала, эту погрешность можно рассчитать по формуле
.
В этой формуле значения m и tср брать наибольшие из значений, приведенных в табл. 2, величина равна точности задания масс, а за ошибку определения времени можно принять 
= 0,2 с, как время реакции человека на включение и выключение прибора (случайной и приборной ошибками определения времени пренебрегаем).
Окончательный результат записать в таблицу 2. Сравнить полученное значение коэффициента жесткости пружины с результатом, полученным ранее.
Контрольные вопросы
1. Какие деформации называются упругими? Сформулируйте закон Гука.
2. Какие колебания называются свободными?
3. Какой функцией описываются гармонические колебания?
4. Напишите формулу для периода колебаний пружинного маятника.
5. Чем можно объяснить различие в значениях коэффициента жесткости, полученных разными методами?
Список литературы
1. Методические указания к лабораторным работам по дисциплине «Физика». Работы 4, 5, 5а. М.: МИИТ, 2003.
2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. М.: Высш. шк., 2001.
3. Никитенко В.А., Прунцев А.П. Концепции современного естествознания. М.: МИИТ, 2004.
Как найти коэффициент жёсткости пружины: формула, определение
Рано или поздно при изучении курса физики ученики и студенты сталкиваются с задачами на силу упругости и закон Гука, в которых фигурирует коэффициент жесткости пружины. Что же это за величина, и как она связана с деформацией тел и законом Гука?
Сила упругости и закон Гука
Для начала определим основные термины, которые будут использоваться в данной статье. Известно, если воздействовать на тело извне, оно либо приобретет ускорение, либо деформируется. Деформация — это изменение размеров или формы тела под влиянием внешних сил. Если объект полностью восстанавливается после прекращения нагрузки, то такая деформация считается упругой; если же тело остается в измененном состоянии (например, согнутом, растянутом, сжатым и т. д. ), то деформация пластическая.
Примерами пластических деформаций являются:
В свою очередь, упругими деформациями будут считаться:
В результате упругой деформации тела (в частности, пружины) в нем возникает сила упругости, равная по модулю приложенной силе, но направленная в противоположную сторону. Сила упругости для пружины будет пропорциональна ее удлинению. Математически это можно записать таким образом:
где F — сила упругости, x — расстояние, на которое изменилась длина тела в результате растяжения, k — необходимый для нас коэффициент жесткости. Указанная выше формула также является частным случаем закона Гука для тонкого растяжимого стержня. В общей форме этот закон формулируется так: «Деформация, возникшая в упругом теле, будет пропорциональна силе, которая приложена к данному телу». Он справедлив только в тех случаях, когда речь идет о малых деформациях (растяжение или сжатие намного меньше длины исходного тела).
Определение коэффициента жесткости
Коэффициент жесткости (он также имеет названия коэффициента упругости или пропорциональности) чаще всего записывается буквой k, но иногда можно встретить обозначение D или c. Численно жесткость будет равна величине силы, которая растягивает пружину на единицу длины (в случае СИ — на 1 метр). Формула для нахождения коэффициента упругости выводится из частного случая закона Гука:
Чем больше величина жесткости, тем больше будет сопротивление тела к его деформации. Также коэффициент Гука показывает, насколько устойчиво тело к действию внешней нагрузки. Зависит этот параметр от геометрических параметров (диаметра проволоки, числа витков и диаметра намотки от оси проволоки) и от материала, из которого она изготовлена.
Единица измерения жесткости в СИ — Н/м.
Расчет жесткости системы
Встречаются более сложные задачи, в которых необходим расчет общей жесткости. В таких заданиях пружины соединены последовательно или параллельно.
Последовательное соединение системы пружин
При последовательном соединении общая жесткость системы уменьшается. Формула для расчета коэффициента упругости будет иметь следующий вид:
1/k = 1/k1 + 1/k2 + … + 1/ki,
где k — общая жесткость системы, k1, k2, …, ki — отдельные жесткости каждого элемента, i — общее количество всех пружин, задействованных в системе.
Параллельное соединение системы пружин
В случае когда пружины соединены параллельно, величина общего коэффициента упругости системы будет увеличиваться. Формула для расчета будет выглядеть так:
Вычисление коэффициента жесткости опытным методом
С помощью несложного опыта можно самостоятельно рассчитать, чему будет равен коэффициент Гука. Для проведения эксперимента понадобятся:
Последовательность действий для опыта такова:
Примеры задач на нахождение жесткости
Задача 1
На пружину длиной 10 см действует сила F = 100 Н. Длина растянутой пружины составила 14 см. Найти коэффициент жесткости.
Ответ: жесткость пружины составит 2500 Н/м.
Задача 2
Груз массой 10 кг при подвешивании на пружину растянул ее на 4 см. Рассчитать, на какую длину растянет ее другой груз массой 25 кг.
Ответ: во втором случае пружина растянется на 10 см.
Видео
Из этого видео вы узнаете, как определить жесткость пружины.
Жесткость пружины
Время чтения: 10 минут
Пружиной называют объект, способный с помощью деформации, вызванной внешними силами, накапливать и сохранять упругую потенциальную энергию, а после прекращения их воздействия восстанавливаться до прежнего состояния. Реально существующие пружины абсолютно точно восстановить свою прежнюю форму не в состоянии т.к. при внешнем воздействии в той или иной степени нарушается структура их материала, в результате чего возникают так называемые пластичные деформации. Чем они меньшее, тем более качественным считается изделие.
Какие бывают типы пружин
В первую очередь их принято делить на предназначенные для работы в режиме растягивания и предназначенные для работы в режиме сжатия.
Пружины растяжения при действии на них полезной нагрузки растягиваются. Они не нуждаются в жёстком захвате и, как правило, имеют нулевой шаг, т. е. витки у них прилегают вплотную друг к другу. В обычной жизни подобные изделия большинство людей может заметить, проходя через двери с механическим механизмом закрытия или при пользовании пружинными весами. В технике пружины растяжения используются для соединения элементов, положение которых меняется при их работе. В качестве примера можно привести завес рычагов.
Пружины сжатия под нагрузкой по длине уменьшаются. Для правильной работы их концы должны быть жёстко зафиксированы. Витки проволоки в свободном состоянии не касаются друг друга, т.к. им необходим некоторый промежуток, чтобы под внешней нагрузкой было куда перемещаться. В качестве примера использования таких изделий можно привести пружину в шариковой ручке или автомобильную подвеску.
В технике широкое применение находят и другие типы пружин: пружины кручения (в точных весах), плоские спиральные (как заводные в часах), плоские (в автомобильных рессорах), тарельчатые (в грузовых весах). В некотором роде пружинами можно назвать некоторые изделия из резины и из других полимерных эластичных материалов. Все они работают по одной и той же схеме – запасают кинетическую энергию в виде энергии упругости, а затем, когда нагрузка ослабнет или вовсе перестанет действовать, её возвращают.
Основные характеристики пружин
Зная материал и диаметр проволоки, форму её сечения, длину и диаметр пружины, как единого целого, можно с очень высокой достоверностью судить, насколько пружина может сопротивляться попыткам деформировать себя. Существуют также другие характеристики, от которых работоспособность пружины может зависеть очень серьёзно. К таковым относятся усталость материала проволоки, шаг витка, индекс пружины и т. д.
Материал и сила жесткости пружины
Зависимость между этими характеристиками пружин индивидуальная и вычисляется опытным путём. Чаще всего для изготовления металлических пружин используют высокоуглеродистые стали, легированные ванадием, кремнием и марганцем. Для изделий, предназначенных для длительной работы в агрессивных средах используют нержавеющую сталь, оловянносвинцовую, бериллиевую и кремнемарганцевую бронзу, различные чугуны, а также некоторые из титановых сплавов.
Небольшие пружины изготавливают из уже закалённой проволоки. Крупные изделия делают из отожжённой стали, а закалку проводят уже после формовки.
Как связана жесткость пружины с диаметром и формой сечения проволоки, из которой она сделана
Чем он меньше, тем пружина более эластична. Способность запасать энергию с уменьшением диаметра тоже становится меньше. Пружины сжатия, как правило, делают из более толстой проволоки.
Следует отметить, что не всегда сечение проволоки для пружин бывает круглым, в пружинах сжатия оно иногда бывает уплощённым. Это обеспечивает лучшую посадку одного витка на другой и делает конструкцию более устойчивой.
Длина и диаметр
Под длиной пружины понимают её длину в свободном, недеформированном состоянии.
Также следует различать длину собственно изделия и длину проволоки, из которой оно сделано. Это две совершенно разные величины. Не малое значение имеет число витков. В пружинах сжатия, чем их больше, тем выше вероятность соскальзывания изделия с опоры и, как следствие, выхода детали из строя.
О понятии жесткости. Жесткость пружины: формула
Жёсткостью пружины называют коэффициент, который связывает силу прилагаемую к ней с удлинением или сжатием.
Посмотрите на закон Гука.
Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому, деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе.
k – это и есть жёсткость пружины.
Fупр — сила жесткости или упругости пружины.
x — расстояние, на которое изменилась длина изделия после того как та была уравновешена.
Минус в формуле свидетельствует о том, что сила F имеет по сравнению с нагрузкой противоположное направление.
Закон Гука является одним из основных законов физики.
Как найти жесткость пружины? Формулу из выше приведённого уравнения понять достаточно легко:
Коэффициент жесткости пружины можно вычислить и экспериментальным путём. Для этого нужно подвесить на вертикально закреплённую пружину груз с известной массой.
Имеем два уравнения:
Т. к. Fупр =Fтяж, получаем
Отсюда разделив обе части уравнения на x, найдём, что жёсткость равна
Массу самой пружины считаем равной нулю. Для исключения случайных ошибок проводим несколько измерений с грузами разной массы.
Коэффициент жесткости пружины
Пружины можно назвать одной из наиболее распространенных деталей, которые являются частью простых и сложных механизмов. При ее изготовлении применяется специальная проволока, накручиваемая по определенной траектории. Выделяют довольно большое количество различных параметров, характеризующих это изделие. Наиболее важным можно назвать коэффициент жесткости. Он определяет основные свойства детали, может рассчитываться и применяться в других расчетах. Рассмотрим особенности подобного параметра подробнее.
Определение и формула жесткости пружины
При рассмотрении того, что такое коэффициент жесткости пружины следует уделить внимание понятию упругости. Для ее обозначения применяется символ F. При этом сила упругости пружины характеризуется следующими особенностями:
Не стоит забывать о том, что жесткость – характеристика, свойственная упругим телам, способным деформироваться. Довольно распространенным вопросом можно назвать то, как обозначается жесткость пружины на чертежах или в технической документации. Чаще всего для этого применяется буква k.
Слишком сильная деформация тела становится причиной появления различных дефектов. Ключевыми особенностями можно назвать следующее:
Довольно большое распространение получили красные пружины и другого типа. Цветовое обозначение применяется в случае производства автомобильных изделий. Для расчета применяется следующая формула: k=Gd 4 /8D 3 n. В этой формуле указываются нижеприведенные обозначения:
Рассматриваемая формула применяется в случае расчета коэффициента жесткости для цилиндрических пружин, которые устанавливаются в самых различных механизмах. Подобная единица измеряется в Ньютонах. Коэффициент жесткости для стандартизированных изделий можно встретить в технической литературе.
Формула жесткости соединений пружин
Не стоит забывать о том, что в некоторых случаях проводится соединение тела нескольким пружинами. Подобные системы получили весьма широкое распространение. Определить жесткость в этом случае намного сложнее. Среди особенностей соединения можно отметить нижеприведенные моменты:
В обеих случаях применяется определенная формула, которая определяет особенности подключения. Модуль силы упругости может существенно отличаться в зависимости от особенностей конкретного изделия.
При последовательном соединении изделий показатель рассчитывается следующим образом: 1/k=1/k1+1/k2+…+1/kn. Рассматриваемый показатель считается довольно важным свойством, в данном случае он снижается. Параллельный метод подключения рассчитывается следующим образом: k=k1+k2+…kn.
Подобные формулы могут использоваться при самых различных расчетах, чаще всего на момент решения математических задач.
Коэффициент жесткости соединений пружин
Приведенный выше показатель коэффициента жесткости детали при параллельном или последовательном соединении определяет многие характеристики соединения. Довольно часто проводится определение тому, чему равно удлинение пружины. Среди особенностей параллельного или последовательного соединения можно отметить нижеприведенные моменты:
Для проведения расчетов нужно построить схему подключения всех элементов. Основание представлено линией со штриховкой, изделие обозначается схематически, а тело в упрощенном виде. Кроме этого, от упругой деформации во многом зависит кинетическая и другая энергия.
Коэффициент жесткости цилиндрической пружины
На практике и в физике довольно большое распространение получили именно цилиндрические пружины. Их ключевыми особенностями можно назвать следующие моменты:
Не стоит забывать о том, что выделяют два типа деталей: сжатия и растяжения. Их коэффициент жесткости определяется по одной и той же формуле. Разница заключается в следующем:
Расчет коэффициента цилиндрической пружины может проводится при использовании ранее указанной формулы. Она определяет то, что показатель зависит от следующих параметров:
Коэффициент жесткости считается одним из наиболее важных параметров, который учитывается при проведении самых различных расчетов.
Единицы измерения
При проводимых расчетах также должно учитываться то, в каких единицах измерениях проводятся вычисления. При рассмотрении того, чему равно удлинение пружины уделяется внимание единице измерения в Ньютонах.
Для того чтобы упростить выбор детали многие производители указывают его цветовым обозначением.
Разделение пружины по цветам проводится в сфере автомобилестроения.
Среди особенностей подобной маркировки отметим следующее:
Как правило, подобное свойство отмечается на внешней стороне витка. Производители наносят небольшую полоску, которая и существенно упрощает процесс выбора.
Особенности расчета жесткости соединений пружин
Приведенная выше информация указывает на то, что коэффициент жесткости является довольно важным параметром, который должен рассчитываться при выборе наиболее подходящего изделия и во многих других случаях. Именно поэтому довольно распространенным вопросом можно назвать то, как найти жесткость пружины. Среди особенностей соединения отметим следующее:
Как ранее было отмечено, выделяют последовательный и параллельный метод соединения. Оба характеризуются своими определенными особенностями, которые должны учитываться.
В заключение отметим, что рассматриваемая деталь является важной частью конструкции различных механизмов. Неправильный вариант исполнения не сможет прослужить в течение длительного периода. При этом не стоит забывать о том, что слишком сильная деформация становится причиной ухудшения эксплуатационных характеристик.