Что обозначает множество чисел

Что такое множество в математике и как оно обозначается

Множество – это количество предметов или чисел, обладающих общими свойствами.

Данное определение подходит к любой совокупности с одинаковыми признаками, независимо оттого, сколько предметов в нее входит: толпа людей, стог сена, звезды в небе.

В математике изучаемое понятие обозначается заглавными латинскими буквами, например: А, С, Z, N, Q, A₁, A₂ и т. д.

Объекты, составляющие группу, называются элементами множества и записываются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, x, y, a₁, a₂ и т. д.

Границы совокупности обозначаются фигурными скобками < >.

А = <а, в, с, у>– А состоит из четырех элементов.

Записать совокупность Z согласных букв в слове «калькулятор»:

Z = <к, л, т, р>, повторяющиеся согласные записываются один раз. Z состоит из четырех элементов.

Принадлежность элементов множеству обозначается знаком – Є.

Пример: N = , а Є N – элемент «а» принадлежит N.

Выделяют три вида множеств:

пустые (обозначаются Ø) – не имеющие элементов.

Пример: А = <а, в, с, у>и В = <а, в, с, е, к>– все элементы А являются элементами совокупности В, следовательно А ⊆ В.

Если множества состоят из одинаковых элементов, их называют равными.

Пример: А = <23, 29, 48>и В = <23, 29, 48>, тогда А = В.

В математике выделяют несколько числовых совокупностей. Рассмотрим их подробнее.

Множество натуральных чисел

Относится ли ноль к натуральным числам? Это до сих пор открытый вопрос для математиков всего мира.

Множество целых чисел

Совокупность целых чисел (Z) включает в себя положительные натуральные и отрицательные числа, а также ноль:

Множество рациональных чисел

Совокупность рациональных чисел (Q) состоит из дробей (обыкновенных и десятичных), целых и смешанных чисел:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числителем служит любое целое число, а знаменателем – натуральное:

Следовательно, N и Z являются подмножествами Q.

Операции над множествами

Точно так же, как и все математические объекты, множества можно складывать и вычитать, то есть совершать операции.

Если две группы образуют третью, содержащую элементы исходных совокупностей – это называется суммой (объединением) множеств и обозначается знаком ∪.

Если две группы совокупностей образуют третью, состоящую только из общих элементов заданных составляющих, это называется произведением (пересечением) множеств, обозначается значком ∩.

Если две совокупности образуют третью, включающую элементы одной из заданных групп и не содержащую элементы второй, получается разность (дополнение) совокупностей, обозначается значком /.

В случае, когда В / С = С / В, получается симметричная разность и обозначается значком Δ.

Для «чайников» или кому трудно даётся данная тема операции с совокупностями можно отобразить с помощью диаграмм Венна:

Объединение

Пересечение

Дополнение

С помощью данных диаграмм можно разобраться с законами де Моргана по поводу логической интерпретации операций над множествами.

Свойства операций над множествами

Операции над множествами обладают свойствами, аналогичными правилу свойств сложения, умножения и вычитания чисел:

Коммутативность – переместительные законы:

умножения S ∩ D = D ∩ S;

сложения S ∪ D = D ∪ S.

Ассоциативность – сочетательные законы:

умножения (S ∩ F) ∩ G = S ∩ (F ∩ G);

сложения (S ∪ F) ∪ G = S ∪ (F ∪ G).

Дистрибутивность – законы распределения:

умножения относительно вычитания S ∩ (F – G) = (S ∩ F) – (S ∩ G);

умножения относительно сложения G ∩ (S ∪ F) = (G ∩ S) ∪ (G ∩ F);

сложения относительно умножения G ∪ (S ∩ F) = (G ∪ S) ∩ (G ∪ F).

если S ⊆ Fи F ⊆ J, то S ⊆ J;

если S ⊆ F и F ⊆ S, то S = F.

Идемпотентность объединения и пересечения:

О других свойствах операций можно узнать из картинки:

Счетные и несчетные множества

Если между элементами двух групп можно установить взаимное немногозначное соответствие, то эти группы чисел равномощны, при условии равного количества элементов.

Мощность данной математической единицы равна количеству элементов в ней. Например, множество всех нечетных положительных чисел равномощно группе всех четных чисел больше ста.

Но не все группы действительных чисел счетные. Примером несчетной группы предметов является бесконечная десятичная дробь.

Источник

Числовые множества с примерами решения и образцами выполнения

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

— множество натуральных чисел;

— множество целых неотрицательных чисел;

— множество целых чисел;

— множество рациональных чисел.

— множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

Множество содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, , — рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Теорема:

Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Допустим, что существует рациональное число, представленное несократимой дробью квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

Отсюда следует, что (а значит, и ) — четное число, т. е. . Подставив к равенство , получим , т. е. . Отсюда следует, что число — четное, т. е. . Но тогда дробь сократима. Это противоречит допущению, что дробь несократима. Следовательно, не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Так, — иррациональные числа. Можно сказать: множество действительных чисел есть множество всех бесконечных десятичных дробей. И записать

, где .

Множество действительных чисел обладает следующими свойствами.

1. Оно упорядоченное: для любых двух различных чисел и имеет место одно из двух соотношений либо .

2. Множество плотное: между любыми двумя различными числами и содержится бесконечное множество действительных чисел , т. е. чисел, удовлетворяющих неравенству .

Так, если , то одним из них является число

3. Множество непрерывное. Пусть множество разбито на два непустых класса и таких, что каждое действительное число содержится только в одном классе и для каждой пары чисел и выполнено неравенство . Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число , удовлетворяющее неравенству . Оно отделяет числа класса от чисел класса . Число является либо наибольшим числом в классе (тогда в классе нет наименьшего числа), либо наименьшим числом в классе (тогда в классе нет наибольшего).

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством всех действительных чисел и множеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, наоборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное) действительное число. Поэтому вместо слова «число» часто говорят «точка».

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Числовые множества

Множество называется ограниченным сверху (снизу), если существует действительное число такое, что для всех чисел выполняется неравенство

Числа называются, соответственно, мажорантой и минорантой множества А.

Ограниченное снизу и сверху множество, называется ограниченным.

Наименьшая из мажорант (наибольшая из минорант) называется верхней (нижней) гранью множества А. Верхняя грань обозначается через . Для нижней грани используется обозначение .

В качестве примера рассмотрим множество

Здесь .

Докажем теперь теорему о существовании граней множества.

Теорема:

Ограниченное сверху (снизу) множество имеет. верхнюю (нижнюю) грань.

Доказательство:

Предположим, для определенности, что множество А ограничено сверху. Обозначим через В множество его мажорант. Тогда для любых чисел выполняется неравенство . По свойству полноты множества действительных чисел (§1. свойство 9)) существует число-разделитель с такое, иго для всех имеет место неравенство

Таким образом, с одной стороны, число с: является мажорантой, а, с другой стороны, оно нс превосходит любой из мажорант и, следовательно, . Аналогично доказывается существование нижней грани.

Рассмотрим систему вложенных отрезков

Принцип вложенных отрезков. Любая система вложенных отрезков имеет непустое пересечение.

Доказательство. Пусть множества А и В состоят из левых и правых концов отрезков, соответственно. Так как для любых справедливо неравенство ,

то по свойству полноты множества действительных чисел найдется разделитель . этих множеств и, следовательно, дня всех

Таким образом, число с принадлежит всех отрезкам системы. Принцип доказан.

Множества можно сравнивать по количеству элементов, содержащихся в них. Конечные множества считаются равномощными, если они имеют одинаковое ’тело элементов. Если множество содержит бесконечное количество элементов, то можно попытаться сравнить его с другим бесконечным множеством простой структуры. например, с множеством натуральных чисел.

Бесконе’шое множество называется счетным, если его элементы можно пронумеровать, т. с. каждый элемент множества получает свой, отличный от других номер, выражающийся натуральным числом.

Примерами счетных множеств могут служить, например, множества целых и рациональных чисел. Целые числа можно пересчитать, расположив их в ряд:

Для того, чтобы пронумеровать рациональные числа, расположим их в следующей бесконечной матрице:

В строках этой матрицы записаны все несократимые рациональные дроби с фиксированным знаменателем. Ясно, что каждому рациональному числу однозначно найдется место в этой матрице. Занумеруем теперь числа матрицы по диагоналям, на’шная с левого верхнего угла, т. е.

где запись означает, что рациональное число получает номер . Таким образом, каждое рациональное число будет пронумеровано и, следовательно, множество счетно.

На этих примерах мы наблюдаем любопыппдй парадокс, который является особенностью бесконечных множеств: бесконечное множество может быть равномощно своей части, т. с. содержать столько же элементов, сколько их имеется в собственном подмножестве.

В заключение этого параграфа покажем что существуют множества, которые являются более мощными, чем счетные.

Теорема:

Любой отрезок множества действительных чисел является несчетным множеством.

Доказательство:

Предположим, наоборот, что отрезок является счетным множеством и пусть

— пронумерованное множество чисел этого отрезка. Выберем внутри данного отрезка отрезок , который нс содержит число , внутри отрезка найдется отрезок . не содержащий число , …, внутри отрезка возьмем отрезок , в котором не содержится число , …. В результате мы получим систему вложенных отрезков

В соответствии с принципом вложенных отрезков, найдется число с, общее для всех отрезков. Пусть — номер этого числа, т. е. и, следовательно, . Полученное противоречие и доказывает утверждение теоремы.

Числовые множества и числовые последовательности

Множества

Понятие м ножества принадлежит к числу первичных, неопределяемых понятий. Употребляя термин «множество», будем понимать под этим любое собрание (совокупность) определенных и различимых между собой элементов, мыслимое как единое целое. Например, мы можем говорить о множестве букв на данной странице, о множестве песчинок на морском берегу, о множестве всех корней уравнения, о множестве всех четных чисел и т. д.

Если А — произвольное множество элементов, то утверждение «элемент о принадлежит множеству А символически записывается так: a ∈ А. Запись a ∈ А (или a∉А) означает, что элемент о не принадлежит множеству А. Если каждый элемент из множества А входит и в множество В, то мы называем А подмножеством множества В и пишем А ⊂ В. Так, множество всех четных чисел Z’ является подмножеством множества Z всех целых чисел. Заметим, что всегда А ⊂ А.

Если А ⊂ В и В ⊂ А, т.е. если каждый элемент множества А есть также и элемент В и наоборот, то мы говорим, что множества А и В равны и пишем А = В. Тем самым множество однозначно определено своими элементами. Пользуясь этим, мы будем иногда обозначать множество его элементами, заключенными в фигурные скобки. Так

суть множества, соответственно состоящие из одного элемента а, двух элементов a и b, трех элементов а, b и с. Часто все элементы множества выписать затруднительно, или невозможно. В таких случаях невыписанные элементы будем заменять точками:

есть множество, состоящее из элементов а, b, с и, может быть, еше некоторых других. Какие эти другие элементы, обозначенные точками, должно быть указано, например:

множество натуральных чисел <1, 2, 3…..п,… >;

множество квадратов натуральных чисел <1, 4, 9,…, п2,… >; множество простых чисел <2, 3,5,7,… >.

Если А ⊂ В, но А ≠ В, то А называют правильной частью множества В (истинным подмножеством множества В).

Иногда мы не знаем заранее, содержит ли некоторое множество хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества, т. е. множества, не содержащего ни одного элемента. Будем обозначать пустое множество символом ∅. Любое множество содержит пустое множество в качестве подмножества.

Пусть А и В — два множества. Их суммой или объединением С = A ∪ В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A и В (рис. 1).

Назовем пересечением множеств А и В множество С = А ∩ В, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В (рис. 2). Например, если А = <1, 2, 3>, В = <2, 3, 4, 5>, то A U В = <1,2, 3, 4, 5>, A ∩ В = <2,3>.

Аналогично определяются объединение и пересечение любого числа множеств.

Если А ∩ В = ∅, то говорят, что множества А и В не пересекаются.

Множество называется конечным, если оно состоит из некоторого натурального числа элементов. Например, конечным является множество всехжителейданного города, а также множество всех людей, населяющих планету Земля. Непустое множество называется бесконечным, если оно не является конечным. Так, множество N = <1, 2,… >всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Пусть А и В — некоторые множества. Говорят, что между множествами А и В установлено взаимнооднозначное соответствие, если каждому элементу множества А поставлен в соответствие один элемент множества В так, что: 1) разным элементам множества А поставлены в соответствие разные элементы множества В и 2) каждый элемент множества В поставлен в соответствие некоторому элементу множества А. Если между двумя конечными множествами А и В удалось установить взаимнооднозначное соответствие, то множество А и В имеют одинаковое число элементов. Множества А и В, между которыми можно установить взаимнооднозначное соответствие, называются эквивалентными.

Обозначение: А

Бесконечное множество А называется счетным, если можно установить взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством N натуральных чисел, т. е. если А

N. Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Действительные числа. Абсолютная величина

Числа 1, 2, 3,…, п, п + 1,… называются натуральными числами. Дроби вида

где т и п — натуральные числа, а также число 0 называются рациональными числами. В частности, рациональным будет каждое натуральное и каждое целое отрицательное число. Любое рациональное число выражается либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью.

Кроме рациональных чисел существуют еще иррациональные числа, которые выражаются бесконечными непериодическими десятичными дробями. Например,

Рациональные и иррациональные числа называются действительными (вещественными) числами.

Можно показать, что множество всех рациональных чисел счетно. Множество всех действительных чисел счетным не является.

Мы будем предполагать, что основные свойства действительных чисел и арифметические действия над ними известны из школьного курса математики.

Определение:

Если а > 0, то отношение |х| ≤ а эквивалентно отношению

-а ≤ х ≤ а (проверьте это!).

Для абсолютных величин верны следующие соотношения:

1. |а • b| = |а| • |b|;

Справедливость этих соотношений вытекает из правила умножения и деления действительных чисел и из определения абсолютной величины.

Источник