Что обозначает точка пересечения графиков и чтоб они можно узнать

Что обозначает точка пересечения графиков и что по ней можно узнать?

Охарактеризуйте движение тел, графики движения которых показаны на рисунке 11. Что обозначает точка пересечения графиков и что по ней можно узнать?

Посмотрим внимательно на график. Видим две прямые, которые обозначают движение двух объектов, которые направляются навстречу друг другу.

На графике горизонтальная ось абсцисс соответствует времени, пройденному обоими объектами (t), измеренное секундами. А вертикальная ось ординат сообщает расстояние, которое преодолели оба объекта, выражаемое в метрах.

Первый объект (тело I) двигается из точки, соответствующей расстоянию в 300 метров (х0=300), а второй объект (тело II) совершает движение из точки, соответствующей 150 метров (х0 = 150).

Через 20 секунд после начала движения оба объекта тело I и тело II встречаются в одной точке, затем каждый продолжает путь неизменно по тому же прямому пути с той же скоростью.

Точка пересечения графиков дает возможность узнать координаты в момент встречи обоих объектов тела I и тела II плюс посчитать скорость их движения.

Теперь посчитаем скорость.

V (тело I) = 50/10 = 5 м/с.

V (тело II) = 50/20 = 2,5 м/с.

Как видим, второе тело двигалось в два раза медленнее, поэтому через одинаковый промежуток времени пройдет в два раза меньшее расстояние.

Узнали место встречи, обозначенное на графике в месте пересечения прямых определенными координатами и посчитали скорость движения обоих тел: 5 и 2,5 м/с.

Источник

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д 3 +St 2 +Ut+V=0 существует еще одна методика нахождения корней. Она имеет следующий вид:

Следует отметить, что важным пунктом методики является правильный выбор выражения замены, а затем верное выполнение математических преобразований.

Пример решения

Для закрепления знаний необходимо перейти к практическому решению заданий.Одной из простых задач является следующая: найдите координаты точки пересечения графиков линейных функций z=2t+7 и z=t-1. Решается задача по такому алгоритму:

В четвертом пункте нужно подставить координату по оси абсцисс в любое из уравнений для получения второй составляющей, необходимой для точки. Следует отметить, что в этой задаче нет необходимости проводить математические преобразования. Однако существуют и более сложные задания, в которых необходимо решать квадратные уравнения, а также раскрывать скобки.

Таким образом, для определения точки пересечения графиков необходимо уметь находить корни уравнения, а также выполнять алгебраические преобразования.

Источник

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Равномерное прямолинейное движение

Всё в мире находится в движении.

Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.

Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.

А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.

Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном

А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!

Ой, я что, не сказал? Там сложные были!

Ты, наверное, и не заметил 😉

О том, как решить основную задачу механики

Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.

Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?

Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.

Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.

А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.

Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!

Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.

Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.

Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:

Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:

Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:

Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?

Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!

То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:

Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!

Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!

Это зависит от движения тела.

Равномерное прямолинейное движение

Определение равномерного прямолинейного движения

Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.

Давай попробуем дать ему определение.

Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.

Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.

Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.

Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.

Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?

Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.

А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.

Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.

Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.

Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.

То есть тело совершает равные перемещения!

Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.

С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.

Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение \(\vec\).

Тогда за две секунды совершает перемещение \(2\vec\):

Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:

Скорость

Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.

Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.

То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!

А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.

Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.

Запишем это в виде формулы:

Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?

Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:

Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.

Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.

Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:

Отсюда делаем вывод:

Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.

Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:

Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.

Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения

Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:

Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:

Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?

Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:

Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:

Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.

По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?

Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.

То есть используем лишь одну ось:

Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.

Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.

Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:

Графики равномерного прямолинейного движения

Построение графика

Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.

Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.

Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.

Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением \(y=<^<2>>\). Как еще это можно записать?

Вот так: \(f(x)=<^<2>>\). Это показывает, что функция \(f\) зависит от значения \(x\).

Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:

Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:

Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.

Тогда уравнение имеет вид: \(x=3+0.5\cdot t\)

Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!

Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!

Отметим точки и соединим их. Получим график движения.

А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?

Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.

Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?

Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:

Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!

Например, когда мы только включили секундомер (\(t=0\)с), тело находилось в начальном положении (\(<_<0>>=3\)м), и это видно по графику!

А когда координата тела была равна нулю?

Итак, мы выяснили, что…

График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.

Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.

Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.

И действительно, само уравнение \(x=<_<0>>+<_>\cdot t\) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: \(y=kx+m\), где \(m\) — точка пресечения графика с осью Х, а \(k\) — коэффициент наклона прямой.

В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.

Зависимость графика от проекции скорости

Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:

Чем отличаются движения этих двух тел?

Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.

А что насчет проекции скорости?

Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).

Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.

А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.

Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?

Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:

Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:

Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.

График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?

Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:

Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:

Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.

Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.

А что будешь делать с таким графиком?

Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?

Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.

Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.

Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.

Встреча

Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:

В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.

Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.

А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:

Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.

А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились.

Просто у них совпала траектория.

График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения

Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…

Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.

Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:

Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.

Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:

Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.

Где-то мы это слышали.

Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!

Совпадение? Не думаю.

Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!

Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.

Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения

Текстовые задачи

Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: \(x=2\cdot t\), а ось направлена вниз по лестнице.

Решение:

Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:

Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!

Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:

Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.

Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.

Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:

И еще раз посмотрим на наше:

Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!

Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.

Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.

Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.

На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?

Решение:

Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.

Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.

Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!

Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:

Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…

Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.

Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!

Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!

Теперь можем записать уравнение его движения:

Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:

На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!

Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: \(x=6+2\cdot t\). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: \(x=3+3\cdot t\).

Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.

Решение:

Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?

Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.

Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):

Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.

Но как узнать, в какой?

Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?

Всегда нужно проверять себя аналитически.

Запишем два уравнения:

\(<_>=3+3\cdot t\) — директора

При встрече у них одинаковые координаты: \(<_

>=<_>\)

Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:

Отсюда легко вычислить время встречи:

Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:

Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.

Задачи на графики

Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:

Решение:

Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.

Удивительно, но начнем с уравнения:

График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: \(<_<0>>=8\) м

Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.

Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:

Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.

Подставим в уравнение:

\(x=8-t\) — уравнение движения тела.

Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.

Решение:

Опишем движение. Какое оно?

«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»

И будешь абсолютно прав.

А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»

Поэтому давай рассматривать этот график частями!

С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.

Найдем проекцию скорости.

Для начала, что есть скорость?

Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.

Знаем, что это справедливо и для проекций:

Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?

Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:

Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.

Вот и нашли проекцию скорости:

Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:

Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.

Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.

Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.

Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.

Найдем проекцию скорости на третьем участке:

Так. Давай разберемся, почему там 12-7.

Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.

Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.

Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:

Работаем с первой частью:

На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.

Избавимся от вспомогательных линий и получим:

Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.

Нарисуем оси и обозначим их:

Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:

Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло \(3\cdot 2=6\) метров! Отметим это. Нет, не так, на графике отметим:

Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.

Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:

На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.

Оно пройдет 5 метров.

Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:

Остается только соединить точки прямой:

Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику

Решение:

Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.

Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:

Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?

«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:

Что ж, давай найдем перемещение:

Попробуем найти площадь второго прямоугольника:

Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!

Аналогично для остальных:

Посмотрим, чему равна проекция перемещения:

Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.

Когда мы включили таймер, она была равна нулю:

А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!

Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.

Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:

Дальше – больше слагаемых.

Следующая точка: \(-6+4=-2\) м

А после нее:\(-6+4+9=7\) м и т.д.

Теперь соединяем точки по порядку:

Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:

Решение:

Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!

Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.

Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.

Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:

Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.

Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:

Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.

Строим его на первом промежутке:

Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:

Координата не меняется. Рисуем:

Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:

Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!

Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.

Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.

В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.

Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.

То есть секунды: 4, 6, 8, 10.

Запишем координаты точек для нужных нам секунд:

Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:

Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂

Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость

Хочешь, покажу фокус?

Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.

Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.

Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.

Давай всё это изобразим для наглядности:

Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.

Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.

Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.

Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!

Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.

Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.

Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.

Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:

Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.

Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.

Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.

Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!

Относительность движения. Операции над скоростями

Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.

Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.

Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.

От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?

Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.

Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.

А относительно Земли?

Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.

Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.

А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.

Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.

По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.

Давай изобразим это:

Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:

Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:

А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:

Ты только посмотри! У нас тут треугольник!

Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!

Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!

Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!

Источник