Что общего у музыки и математики
Что общего у математики и музыки?
Давайте обратимся к истории развития математики. На просторах интернета можно узнать, что ее делят на четыре этапа.
В первый период (примерно 6-5 века до нашей эры) математика еще не была дедуктивною наукой. Сформировались такие понятия, как целое число, площадь, объем, расстояние, рациональный дробь. Если коротко – накопление такого примитивного материала построил фундамент для арифметики и геометрии.
Второй период – именно тот, который нас и будет интересовать в контексте пересечения музыки и математики. В Древней Греции музыка прямо считалась частью математики, а еще точнее, разделом теории чисел.
Пифагор уникальный в своих открытиях, и не совсем уникальный в сфере деятельности. Лейбниц, Декарт, Гольдбах и даже Бернулли посвящали свои труды изучению музыки.
Возможно, вы недавно женились? Если так, то примите мои поздравления. Ставлю свою голову на то, что вы знакомы с композицией «Канон ре мажор» Иоганна Пахельбеля – эту мелодию чаще всего выбирают для свадебных церемоний. Могу сделать предположение, что Пахельбель пользуется такой невероятной популярностью из-за структуры своего произведения – четко выраженная ритмическая тенденция попыток удовлетворяет нашу врожденную подсознательную потребность в математической повторяемости, ритмичности.
Освоение любого инструмента дает большой фундамент для развития мощных математических навыков и пространственного мышления.
Музыка и математика
Музыканты прекрасно понимают какая связь существует между музыкой и математикой. Но человеку непосвященному, может показаться, что это совсем разные вещи. Музыка – творчество, а математика – наука.
Тем не менее, общего у них довольно много. Наша задача — разобраться в этом и выявить все точки соприкосновения музыки и математики.
Звук — музыка или физика
Музыка — это в первую очередь звук. У звука есть ряд свойств, которые мы сейчас рассмотрим:
В музыкальном мире, все эти свойства называются иначе:
Вы уже могли догадаться, что три составляющие относятся больше к физике, а одно — к математике. Давайте рассмотрим эти свойства по очереди.
Частота звука или звуковысотность
Представим себе гитару: самая толстая струна натянута не сильно, щипая ее звук получается низким, похожим на жужжание шмеля. А если мы щипнем самую тонкую струну, которая натянута гораздо сильнее, звук получится высоким, похожим на писк комара. Чем чаще колеблется тело издающее звук, тем выше будет этот звук. В данном случае телом можно назвать любой предмет, издающий звук – будь то струна балалайки или мембрана барабана.
Высота звука в физике называется частотой и измеряется в герцах (количество колебаний в секунду). Частота звука в музыке называется звуковысотностью. Ни один музыкант на свете не поймет, какую высоту звука передает нота, если она не располагается на нотном стане. Подробнее о том, как на пяти линейках нотного стана уживаются звуки самой разной высоты, читайте здесь .
Любопытно: нас всегда заставляют думать, будто звук плоский, а его диаграмма выглядит вот так:
Однако науке уже давно известно, что звук — это волна. А это значит, что звук объёмен и представляет собой спираль, но не совсем такую, какой вы ее представили.
Английский ученый Роберт Гук еще в 17 веке доказал, что что высота звука определяется частотой колебаний, а также он был первым кто сделал интересный опыт:
Гук взял металлическую пластину, насыпал на нее муку и начал возбуждать пластину скрипичным смычком. Мука на пластине приняла форму напоминающую снежинку или орнамент.
В наше время проделать этот опыт гораздо проще: под пластину ставят мощный динамик, после чего меняют частоту звука. Результатом опыта являются кружевные узоры на песке, который находится на пластине:
Обертон или тембр
Очень интересным свойством звука является обертон.
Обертоны – призвуки, входящие в спектр музыкального звука. В переводе с немецкого языка, обертон означает «высокий тон» или «высокий звук». А откуда берется этот высокий звук, сейчас и узнаем.
Струна колеблется целиком, вы сами это видели на видео про гитару. Но оказывается, каждая часть струны тоже вибрирует и издает звук. Не такой громкий как основной тон, но вполне ощутимый.
Еще Пифагор определил принцип, по которому возникают обертоны. Он заключается в следующем:
Первый обертон возникает от вибрации половины звучащего тела – в нашем случае струны. То есть, если мы зажмем струну в том месте, где она делится пополам, то звук получится в два раза выше, чем звук полной струны. Это и есть звучание первого обертона. Но чтобы услышать его в чистом виде, нужно использовать специальный прием – флажолет.
Теперь поделим струну на 3 равные части. Одна треть струны даст нам второй обертон. Затем делим струну на 4 части, получаем третий обертон и так далее.
Вот как выглядит колебание струны: 1 – Целая струна; 2 — ее половина – первый обертон; 3 — третья часть – второй обертон и т.д.
Посмотрите, как с помощью флажолетов можно извлечь обертона:
Пифагор установил, что первый обертон звучит выше основного тона на одну октаву. Второй обертон звучит выше первого на квинту; третий – выше второго на кварту; четвертый выше третьего на большую терцию. Потом пойдут малые терции, затем большие и малые секунды. Вот как выглядит обертоновый ряд от ноты до:
Именно от набора и относительной громкости обертонов зависит тембр инструмента, голоса. Именно благодаря тембру, мы можем отличать звук флейты от звука арфы, звук рояля от звука трубы.
Еще обертоны называют гармониками. Гитаристы в своей игре часто используют гармоники как художественный элемент.
Есть и такие мастера, которые вплетают в свою игру флажолеты так умело, что не сразу понятно сколько инструментов звучит. Послушайте как искусно использует гармоники Jaco Pastorius играя на бас-гитаре:
Громкость – динамика
Громкость звука в физике зависит от амплитуды колебания тела. Вернемся к нашей гитаре.
Если мы ущипнем струну аккуратно, ее колебания будут слабыми, их мы почти не заметим, а звучать она будет тихо. Если же ущипнуть струну как следует или даже дернуть, то она начнет колебаться сильно, звучать громко и эти колебания вы можете увидеть невооруженным глазом. Однако, если воспользоваться стробоскопом, колебание струн наблюдать станет куда удобнее:
С помощью диаграммы можно увидеть участки где звук был тихим, а где громким:
Продолжительность звука – длительность
Физические свойства звука мы рассмотрели, теперь дело за математической составляющей.
Тут все просто. Звук или есть, или его нет. Похоже на двоичную систему счисления. Но в музыке все несколько иначе – одни ноты звучат долго, другие имеют среднюю продолжительность, а третьи звучат совсем коротко.
Звук передается не только по воздуху, но в воде и твердых веществах. Удивительно, но в твердых веществах звук распространяется быстрее, чем по воздуху.
Люди и сухопутные животные, слышат звук с помощью ушей. Барабанная перепонка в нашем ухе очень тонкая, она колеблется с частотой воздуха в окружающей среде. Перепонка передает вибрацию через мельчайшие косточки в орган, называемый средним ухом. Полученный из внешнего мира механический сигнал, в среднем ухе преобразуется в электрические импульсы и передается в мозг. Человек способен воспринимать звуки от 20 Гц до 16000 Гц, но с возрастом этот диапазон сужается. А вот рыбы, например, воспринимают звук боковой линией, которая передает сигналы во внутреннее ухо.
Что же общего у музыки и математики
Теперь мы знаем, что такое звук, знаем его природу и свойства. Так давайте порассуждаем, что общего у музыки (организованных по высоте и времени звуков) и математики.
Вклад Пифагора
Еще в Древней Греции математика и музыка шли бок о бок и считались сестрами. Со времен Пифагора (570-490 гг. до н.э.) наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, вместе с арифметикой, геометрией и астрономией.
С помощью математической формулы, Пифагор выяснил, какие пропорции существуют между звуками и какие из них лучше сочетаются между собой. Также, он создал свой музыкальный строй – Пифагорейский строй.
Также, пифогорейцы вычислили «золотую пропорцию» — конкретное место в музыкальном произведении, где должна быть кульминация.
Вклад Баха
Иоганн Себастьян Бах (1685-1750) популяризировал Темперированный музыкальный строй .
До Баха музыканты использовали разные строи, но они были не совершенны. Некоторые интервалы звучали как диссонансы, а [urlspan]тональности
[/urlspan] с большим количеством знаков давали фальшивое звучание. И.С. Бах был первым, кто начал использовать Темперированный строй в своих произведениях. Этим музыкальным строем мы пользуемся до сих пор. Вся современная музыка написана именно в нем. Каждый интервал в этом строе имеет формулу. Однако в те времена не было такой техники, которая могла бы помочь настроить инструмент так точно. Но Баху это было и не нужно. Он обладал великолепным слухом и легко настраивал инструмент без формул и вспомогательных устройств.
Темп и длительности
Как в математике существует понятие скорости, так и в музыке темп, обозначает скорость музыкального движения. А длительности нот можно сравнить с математическим понятием целых чисел и дробей.
Композиторы математики
Множество композиторов в основе музыкальных произведений используют заранее математические формулы. Основоположником додекафонии Додекафо́ния — техника музыкальной композиции, использующей серии из двенадцати лишь между собой соотнесённых тонов Содержимое подсказки является Арнольд Шенберг. Также он считается основателем Нововенской школы устоявшееся название приверженцев Арнольда Шенберга Содержимое подсказки .
А сейчас, предлагаю послушать финал второго струнного квартета Шенберга. Начало атональной музыки связывают именно с ним.
Еще одним замечательным музыкантом-математиком является Том Лерер. Он занимался точными науками, но прославила его музыка. Большинство его песен связаны с наукой, преимущественно с математикой. В целом, песни Лерера носят сатирический характер, отличаются оригинальными и остроумными рифмами.
Одним из самых популярных произведений Тома Лерера является песня (речитатив) под названием «New Math». В ней автор, под музыку собственного сочинения занимается вычитанием 173 из 342 в десятичной и восьмеричной системах счисления.
Были и другие замечательные музыканты, которые плотно связаны с математикой. Среди них Филип Гласс, Ла Монте Янг, Стив Райх и Терри Райли.
Среди наших соотечественников хочется выделить Сергея Прокофьева. Он запомнился многим не только как выдающийся композитор, но и как отличный шахматист.
Прокофьев — автор музыки к фильму «Александр Невский». Режиссер фильма Сергей Эйзенштейн, обращался к композитору с просьбой, написать музыку ровно 2 минуты и 11 секунд. Прокофьев с легкостью выполнял требование.
Мне нравится статья 6
Заключение
Музыка и математика действительно тесно связаны. В этой статье я раскрыл только часть из них. Но и эта часть, надеюсь, была убедительной.
Еще больше интересного о музыке вы можете узнать из других статей. Буду рад видеть вас в моей группе вконтакте и на youTube канале.
Музыкальная математика за 13,5 минут (Алексей Савватеев)
Любопытное объяснение математических закономерностей в музыке популяризатором математики, доктором физико-математических наук, профессором МФТИ Алексеем Савватеевым. Для тех, кто любит текст — публикуем расшифровку с картинками.
Что такое музыка с точки зрения математики? Что такое «ля» или «ми»? То, как именно звуки образуются, хорошо понятно на гитаре.
Звук «ми» (свободное звучание 1-й струны), звук «ля» (1-я струна зажатая на 5 ладу). «Ля» — это 440 Гц. Что значит 440 Гц? Это 440 раз колеблется струна в секунду. Звук «ми» на 5 полутонов ниже, чем звук «ля» (зажатый на 5 ладу).
Еще на 7 полутонов ниже я получу снова «ми», т.е. октаву. Почему и свободное звучание первой струны и звучание струны, зажатой на 12 ладу, называется одинаковым словом «ми»?
Нам кажется, что играется одна и также нота. Дело в том, что длина струны этой точкой («ми» на 12 ладу) делится ровно пополам:
Это означает, что колебания этого остатка струны, по законам физики, будут в два раза более частые, чем колебания полной струны.
Каждый раз, когда я отступаю по струне, и зажимаю ее на следующем ладу (деление, обозначенное на грифе перпендикулярной чертой), звук поднимается на один полутон, как говорят музыканты.
Заметьте, что лады на грифе разной ширины. Они постепенно сужаются.Потому, что чтобы поднять частоту на один полутон, надо уменьшить длину струны в некоторое количество раз.
На что я намекаю, акцентируя внимание на том, что что-то «на» переводится во что-то «в»? Математики сказали бы, что есть единственная (в некоторых условиях) функция, где + переходит в х (умножить). И функция эта называется логарифм.
Это означает, что наши уши, укорачивание струны и поднятие звука в какое-то количество раз, воспринимают, как поднятие на один полутон. То есть каждый лад укорачивает струну в одно и тоже количество раз, а наши уши говорят, что мы поднимаемся на один полутон, доходя до ноты «ми» и получая октаву. Наши органы слуха устроены логарифмически.
Мы говорим, что «ми» и «ми» отличаются в два раза, это видно по звучанию. Верхняя дуга — колебание полное. Когда мы зажимаем ее посередине, струна начинает колебаться, как на графике посередине.
Почему звуки похожи? Дело в том, что вместе с основным колебанием струны, на самом деле происходит колебание той же самой струны, во всех частотах, где длина колебательного участка обратно пропорциональная частоте.
Соответственно, если длина уменьшается в целое количество раз, то можно услышать соответствующую обертонику. Соответствующий обертон реализуем данной струной. Если данная струна колеблется частично зафиксировавшись в этих двух точках (нижний график), то ее тон будет в три раза более высокий.
Увеличение частоты в два раза воспринимается слухом, как та же самая нота. Все обертоны, которые мы делим в несколько раз, т.е. любое деление половинного отрезка, является и автоматическим делением и большого отрезка. И только некоторые деления большого отрезка не укладываются в схеме деления половинного.
Если мы берем четные верхние звучания для длинной струны, то они будут верхними звучаниями и для струны, укороченной в два раза. И абсолютно любое укороченное звучание короткой струны, будет звучанием и для длинной. Потому мы и чувствуем, что все, что мы слышим совпадает в этих точках, и воспринимаем как одну ноту.
Еще интереснее, что есть ноты, идущие через несколько полутонов, и они воспринимаются ушами как созвучие, аккорд, что-то приятное для слуха, не режущее наш слух. Что это за ноты?
Если взять 7 полутонов, взять ноту «ля» и поднять звучание на 7 полутонов, до следующей «ми», то такие две ноты будут звучать хорошо.
Если отступить еще на 5 полутонов вверх, то будет уже более высокая «ля» следующей октавы. Почему-то этот интервал тоже звучит для нас приятно. Давайте в этом всем разберемся.
Поэтому увеличение на 1 полутон означает сокращение струны в х= 12 √2, или, что тоже самое, поднятие частоты звука, в 12 √2.
А при чем тут «ля» и «ми»? Почему 7 полутонов звучит мелодично? Давайте возведем степень:
Что в этом числе такого приятного, хорошего?
Когда-то в древности изобрели темперированные клавиры, точную запись музыки. На гитаре это очень хорошо видно, у фортепиано это тоже можно найти, оно внутри прячется, если заглянуть, можно увидеть струны.
Так вот, это число — очень близко к числу 3/2. Если вычислять на калькуляторе, буде очень большая точность. Это значит, что «ми» приблизительно выше, чем предыдущая «ля» в 1,5 раза. Т.е. подъем на 7 тонов эквивалентен тому, что мы поднимаемся на 3/2 раза, из этого получается, что у нас очень много верхних обертонов совпадает.
Потому что любое деление на целое число малого отрезка, будет делением на целое число всего отрезка. И, соответственно, деление исходного отреза на количество кусков, кратное трем, будет и делением малого отрезка (⅓), и ⅔ тоже. Когда мы оставили ⅔ от длины, т.е. подняли частоту в 3/2, это мы примерно поднялись на 7 полутонов, у нас будет много общих обертонов, это будет приятное созвучие.
Оставшиеся 4/3 — это как раз 5 оставшихся полутонов, 3/2 х 4/3 =2, как раз октава. Чему соответствует формула х71243. Значение очень близкое к 4/3, но не 100%, т.к. Это число является иррациональным, не записывается никакой дробью, его нельзя записать как целое число делить на целое число.
Я слушал, что в Индии есть инструмент (ситар), в котором на 19 частей делится октава, т.е. у них полутон = 1/19 октавы, 19х2.
И уже с огромной точностью х121932что означает, если на таком индийском инструменте отступить на 12 из 19 отрезков, то в этом созвучии будет больше совпадающих обертонов, и этом интервале звучит как бальзам на уши.
Про музыку и математику много чего интересного можно сказать. В частности, мажорным аккорд воспринимается, если к любой начальной ноте прибавить сначала 4 полутона, а потом 3, т.е. 0 — 4 — 3. А минорным, если в начале прибавлять 3, а потом 4, т.е. 0 — 3 — 4. Первая и последняя из трех нот аккорда, будет «одинаковая», она как раз отличается на 7 полутонов, а вот средний звук будет создавать наше восприятие созвучия, и настраивать на минорным или мажорный лад.
Казалось бы, музыка и математика, что может быть общего? А общего так много, что математики и музыканты часто общаются, более того математики легко понимают музыкантов, так сказать, схватывают с полутона.
Какая связь между математикой и музыкой?
Особенности воздействия музыки на мозг ребенка и ее значение при обучении математике
Начиная со сложных фуг Баха до захватывающих песен современных исполнителей, музыка и математика неизбежно пересекаются друг с другом.
Кроме основных способов использования математики в теории музыки и музыкальных обозначениях (например, в аккордах, музыкальном размере, указывающем количество долей в такте, или нотах с точкой, увеличивающей длительность ноты на половину) музыка служит источником исследований во многих математических областях, таких как абстрактная алгебра, теория множеств и теория чисел.
Вы не поверите, но исследования показали, что некоторые музыкальные произведения становятся более популярными и широко распространенными исключительно благодаря своей «математической» структуре.
Например, считается, что «Канон ре мажор» Иоганна Пахельбеля, который любят выбирать невесты для своих свадебных церемоний, популярен по причине своей повторяющейся структуры – такого очевидного направления современной музыки. Не удивительна также популярность хип-хопа с его ритмичным битом и повторяющимися импровизациями, частично обусловленная нашей врожденной математической потребностью в ритме и повторяющихся элементах.
Чтобы проанализировать первый аккорд песни Битлз «A Hard Day’s Night» и, соответственно, раскрыть тайну его необычного звучания, Джейсон Браун, профессор математики из университета Далхаузи (Канада), использовал математическую операцию преобразование Фурье. (Очевидно, двенадцатиструнная гитара Джорджа Харрисона – это не весь секрет группы.) Теперь Браун применяет успешные результаты своих исследований в качестве вдохновения для написания новых песен.
Связь между музыкой и математикой вызвала также продолжительные дебаты о так называемом «Эффекте Моцарта», о котором впервые заговорили в начале 1990-х. Так, в одном из исследований первой группе испытуемых давали прослушать сонату ре-мажор для фортепьяно Вольфганга Амадея Моцарта, после чего сразу предлагали выполнить пространственно-временные задания. Например, представить в уме лодку, а затем построить ее с помощью конструктора. Вторая группа выполняла те же задания, но без предварительного прослушивания. В итоге те, кто слушал произведение, справлялись с заданием лучше.
Это может объясняться тем, что одни и те же участки мозга активируются как при прослушивании произведений Моцарта, так и при пространственно-временном представлении и, соответственно, мышлении.
Некоторые исследователи убеждены, что помимо пассивного прослушивания музыки когнитивные функции больше улучшает игра на музыкальных инструментах. Дети, обучающиеся игре на музыкальных инструментах, показывают значительно лучший результат в решении задач, требующих вовлечения пространственно-временной ориентации как одной из когнитивных способностей, зрительно-моторной координации и знания арифметики. Отчасти это связано с количеством пересечений между музыкальными и математическими навыками. Например, понятие «часть–целое», необходимое для понимания обыкновенных, десятичных дробей и процентов, в большой степени относится к пониманию ритма. Грамотный музыкант обязан постоянно мысленно разбивать ритм на равные составляющие (и контролировать его), чтобы правильно отображать ритмический рисунок произведения. Контекст разный, но структура задачи, по существу, такая же, как и у любой математической задачи, использующей понятие «части–целого».
Связь между физическим исполнением музыки и большими математическими способностями доказана исследованиями, демонстрирующими, что дети, которые играют на музыкальных инструментах, могут выполнять более сложные арифметические действия по сравнению с теми детьми, которые на них не играют. Кропотливое и постепенное изучение музыкального произведения, внимание к деталям и дисциплина, требующиеся, чтобы научиться играть на инструменте, также являются отличной основой для развития сильных математических навыков.
Связь математики и музыки также наглядна в области образования в целом. Исследования показывают, что дети, которые учатся с помощью музыки и танца, лучше запоминают информацию, чем дети, которые изучают те же понятия с помощью словесного преподавания.
Поэтому в следующий раз, когда у вас возникнет желание встать и начать танцевать под музыку, помните, что эти приятные ритмические узоры, размер, гармония и мелодия на самом деле – воплощение математических выражений.
Математические советы родителям
Стоит ли прикладывать усилия, чтобы заставлять ребенка ежедневно играть на музыкальном инструменте? Ответ прост: да! Ведь ребенок будет не только развивать способность воспроизводить прекрасную музыку, он будет укреплять свой ум в части математического мышления.
Кит Девлин (известный математик и автор многих книг) в своей книге «Ген математики» указывает, что музыканты и математики одинаково используют для написания абстрактные обозначения тех паттернов (схем-образов), которые существуют в их уме. Опытный музыкант, читая музыкальные символы, сразу же «слышит» в своем уме те звуки, которые эти символы обозначают. Аналогичным образом, математик, читая математические символы, без промедления думает о математических выражениях (логических суждениях), изображаемых этими символами.
Поэтому неудивительно, что аппаратная визуализация демонстрирует то, что деятельность мозга профессиональных музыкантов при прослушивании музыки сходна с мозговой деятельностью профессиональных математиков, решающих математическую задачу. Хотя визуализация мозга непрофессиональных музыкантов и математиков не всегда показывает задействование схожих участков, возникает потенциал для дополнения «математических» и «музыкальных» нервных путей друг другом, конечно, в случае, если ваш ребенок продолжит практиковать игру на музыкальном инструменте.
Не важно, играет ли ребенок и сочиняет музыку каждый день или просто любит танцевать под нее дома, обеспечивая ему «правильную» музыку для правильной цели, вы способствуете его обучению в целом и даете возможность преуспеть в математике.
Включайте музыку во время выполнения домашнего задания. Музыка активизирует нас эмоционально, интеллектуально и физически. Музыка помогает входить в состояние полного сосредоточения, позволяющего обрабатывать и запоминать большие объемы информации. В свою очередь, музыка барокко (например, произведения Баха или Генделя с ритмом от 50 до 80-ти тактов в минуту) создает «атмосферу внимания», которая способствует глубокой концентрации учеников в состоянии альфа-ритма мозга. Под такую музыку особенно эффективно учить слова, запоминать факты или читать. С другой стороны, энергичная музыка Моцарта помогает сохранять внимательность в те моменты, когда хочется спать, и не дает детям расслабляться во время чтения или работы над домашним заданием.
Когда вы помогаете ребенку запоминать факты или цифры, будь то математические или любые другие, попробуйте положить информацию на ритм или рифму. Эти привлекающие внимание музыкальные элементы дадут мозгу нужную зацепку, чтобы затем вспомнить важную информацию в стрессовых ситуациях. Такие песни, напевы, стихи и даже рэп помогают лучше запоминать факты и важные подробности.