Что общего в колебаниях математического маятника и груза на пружине

Конспект урока по физике по теме «Колебания математического и пружинного маятников»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Тақырып / Тема: Колебания математического и пружинного маятников.

Оқыту мен тәриелеудің міндеттері / Учебно-воспитательные задачи:

закрепить знания по предыдущим темам, показать аналогичность колебательных процессов различной природы;

научить практически применять знания, полученные на уроках физики,

активировать и систематизировать знания учащихся о механических колебаниях;

развивать физическое мышление учащихся, их творческие способности,

развивать умение самостоятельно формулировать выводы,

развивать умения анализировать, устанавливать связи между элементами содержания ранее изученного материала;

воспитывать инициативу, творческое отношение к учебной деятельности;

воспитать наблюдательность, навыки и культуру проведения физического эксперимента,

учить делать выводы по результатам проведенной работы;

Сабақ түрі / Тип урока: комбинированный с применением информационных технологий

Құрал – жабдықтар / Оборудование для демонстраций: шарик на нити, грузы на пружинах на разной жесткости,

Оборудование для эксперимента: шарик на нити, груз на пружине, штатив.

Демонстрация: колебаний маятников.

Что должны знать учащиеся: теоретический материал по изучаемой теме, формулы.

Что должны уметь учащиеся: Вычислять основные характеристики колебательного движения по формулам,

вычислять период колебаний маятников.

Сабақ барысы / Ход урока.

Ребята! Сегодня на уроке мы познакомимся с решением некоторых практических задач по теме «Математический маятник». Вы будите одновременно и учениками и авторами сборника задач, который мы издадим в конце урока.

Итак, начинаем урок.

Урок начинается с демонстраций: 1) Колебание груза на пружине. 2) Колебание шарика на нити. 3) Работа метронома. 4) Работа двигателя внутреннего сгорания.

Учитель: Что общего в этих движениях? ( Повторение)

Учитель: Как можно назвать эти движения?( Колебания)

Учитель: Какие тела совершают колебания?(колеблющихся тел из демонстраций, которые они наблюдали и из окружающей жизни.)

2. Повторение пройденного материала.

3. Мозговой штурм. Тестирование. Время тестирования 5-7 мин.

А) Молекул Б) Ядра В) Ядра и электронов Г) протона и нейтронов

2.ФОРМУЛА КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ ИМЕЕТ ВИД:

3.Формула потенциальной энергии имеет вид:

А) … = кх 2 /2 Б) … = mυ 2 / 2 В) … = кА 2 /2 Г) …. = Е_к + Е_п

4.Время, за которое совершается одно полное колебание, называется …….

А) амплитуда Б) период В) частота Г) цикл

5. Приставка «мили» означает ….

А) 0, 001 Б) 0,0001 В) 0,1 Г) 0,01

А) 2 000 Па Б) 20 000 Па В) 200 000 Па Г) 2 000 000 Па

4. Изложение нового материала.

Итак, давайте вспомним один из видов движения – колебательное движение. Колебательное движение широко распространено в окружающей нас жизни. Примером такого движения является: движение качелей, маятника часов, вагона на рессорах и т.д.

Что называют колебаниями? Какие виды колебаний вы знаете?

Какие колебания называют свободными? Какие колебания называют вынужденными?

Что такое период? Единица, обозначение, формула.

Дайте ответ на вопросы:

Амплитуда измеряется в …

Устройства, в которых могут осуществляться колебательные процесс, называются колебательными системами.

Простейшая такая система – это маятник.

Маятник – любое тело, подвешенное так, что его центр тяжести находиться ниже точки подвеса.

Рассмотрим математический маятник

Условия для существования математического маятника

** Длина нити гораздо больше размера груза

** Растяжение нити невелико

Математическим маятником называют тяжелый шарик малого размера, подвешенный на длиной, невесомой нерастяжимой нити.

Далее учащимся предлагается выяснить, от чего зависит период колебаний математического маятника. Для этого, приведя шарик на нити в колебательное движение, уменьшают длину подвеса. Заметно, что период колебаний уменьшается с уменьшением длины. При увеличении длины нити, период колебаний увеличивается. Выводится формула периода колебаний математического маятник.

При выяснении величин, от которых зависит период колебаний пружинного маятника, учащимся предлагается рассмотреть колебания одного и двух грузов на пружине. Заметно, что при увеличении массы груза, период колебаний возрастает. Затем демонстрируется колебания одинаковых грузов на пружинах разной жесткости. Учащиеся делают вывод, что на пружине с большей жесткостью период колебаний меньше. Выводится формула периода колебаний пружинного маятника. В ходе объяснения материала демонстрируются слайды.

Период колебаний математического маятника Т = 2π√L/g

Пружинный маятник и его основные характеристики

Период – Т, с Т = 2π √m/k

Fупр Частота – v, Гц Под действием силы тяжести

Жесткость пружины – k, Н/м груз движется вниз,

F тяж Масса груза – m, кг а под действием силы упругости

Период колебаний математического маятника не зависит ни от амплитуды, ни от массы груза, а зависит от длины нити и ускорения свободного падения

5. Переходим к выполнению экспериментов.

Тема исследования: «Исследование зависимости периода колебаний пружинного маятника от массы груза».

Источник

Физика. 11 класс

§ 2. Пружинный и математический маятники

Груз, подвешенный на нити, колеблющийся в поле тяжести Земли, а также груз, прикрепленный к пружине — примеры наиболее простых механических колебательных систем. Рассмотрим физические процессы, происходящие в таких системах.

Совокупность нескольких тел образуют механическую систему. Тела, не входящие в систему, называются внешними.
Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, обратно пропорционально массе тела, направлено по результирующей этих сил и прямо пропорционально ее модулю:

Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела. Направление силы упругости всегда противоположно направлению смещения при деформации.

Какие условия необходимы для возникновения колебаний?

Результаты опытов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний тело изначально необходимо привести в движение. Это можно сделать, отклоняя его от положения равновесия или придавая ему начальную скорость посредством толчка. Этим отклонением или толчком определяется амплитуда колебаний. Кроме того, при выведении тела из положения равновесия в колеблющейся системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Простейшая колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, связывающей тело и опору, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как горизонтально (горизонтальный пружинный маятник), так и вертикально (вертикальный пружинный маятник).

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.

Пусть тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплено к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 13, а). Второй конец пружины прикреплен к неподвижной опоре. Выведем тело из положения равновесия, сместив его, например, вправо на расстояние x (см. рис. 13, б). При этом согласно закону Гука возникнет сила упругости приложенная к телу и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона будет выполняться равенство:

С учетом закона Гука из (1) получаем уравнение для проекций величин на ось Ox (см. рис. 13, б):

Согласно (2) ускорение тела массой m пропорционально действующей силе и направлено к положению равновесия. При этом возникают колебания тела. Каждые полпериода направление движения меняется на противоположное. Смещение груза происходит то вправо, то влево относительно положения равновесия, т. е. оно меняет знак. Следовательно, и сила согласно (2) тоже меняет знак.

Перепишем полученное соотношение (2) в виде:

Уравнение (3) называется уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.
Следовательно, необходимым условием возникновения гармонических колебаний является действие возвращающей силы, направленной к положению равновесия и прямо пропорциональной смещению тела от положения равновесия. Эта возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, о чем «говорит» минус в уравнении (2).
В положении равновесия возвращающая сила равна нулю ( = 0), так как x = 0. Поэтому если в этом положении колеблющееся тело остановить, то колебания исчезнут.
Расчеты показывают, а результаты экспериментов подтверждают, что при описанных условиях тело будет совершать колебания с периодом:

Из формул (4) и (5) следует, что период и частота гармонических колебаний пружинного маятника определяются массой груза m и жесткостью пружины k и не зависят от амплитуды его колебаний.
Отметим, что период и циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 14) также определяются по формулам (4) и (5).
Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.

Математическим маятником называется небольшое тело массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l, находящееся в поле силы тяжести (рис. 15).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать:

В проекциях на выбранные оси координат Ox и Oy (см. рис. 16) получаем:

Поскольку при малых углах отклонения длина дуги АВ ≈ х, то из ΔAOD находим:

где х — отклонение маятника от положения равновесия, l — длина маятника. Подставляя выражение для синуса в (7), получим:

где — проекция ускорения, сообщаемого грузу маятника силой упругости нити.
Откуда получаем уравнение колебаний математического маятника:

Сравнивая соотношения (10), (3) и (5), легко получить формулу для циклической частоты математического маятника в поле тяжести Земли:

Период малых колебаний математического маятника в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

Используя соотношения (5) и (11), уравнение колебаний пружинного маятника и математического маятника можно записать в одинаковом виде:

Таким образом, зависимости координат от времени x(t), описываемые уравнениями (5) и (6) из § 1, удовлетворяют уравнению (13), которое называется уравнением гармонических колебаний.
Как видно из формул (11), (12), период и циклическая частота малых колебаний математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и ускорением свободного падения.

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний ( ) математического маятника длиной l в поле силы тяжести не зависит от его массы m и амплитуды колебаний (угла начального отклонения a).

Повышенный интерес к гармоническим колебаниям объясняется тем, что они широко распространены в науке и технике (маятники, музыкальные инструменты, свет, переменные токи и т. д.). Кроме того, гармонические колебания имеют простое математическое описание, а их период не зависит от амплитуды. Подчеркнем, что любое периодическое движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических составляющих.

В 1807 г. французский физик Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830) показал, что любой периодический процесс, каким бы сложным он ни был, может быть разложен на составляющие его гармонические сигналы.

В качестве примера приведем моделирование прямоугольного сигнала в виде суммы гармонических сигналов с кратными частотами в отношении 1:3:5:7…. (рис. 16-1). Чем больше сигналов разных частот складываются, тем точнее форма конечного сигнала будет соответствовать исходной прямоугольного сигнала. Сигналы прямоугольной формы широко используются для проверки динамиков, микрофонов.

Источник

11 класс

§ 26. Динамика колебательного движения

Уравнение движения груза на пружине.

Чтобы описать свободные колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, т. е. получить уравнение движения, нужно воспользоваться законами механики Ньютона. В этом заключается динамический подход к решению задачи о колебаниях системы.

Проекция силы упругости

где х — координата груза относительно положения равновесия. Величина x₀ + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 5.8).

Запишем уравнение движения груза:

Подставляя в уравнение (2) значение x₀ из выражения (1), получим

Уравнение движения (3) не содержит силы тяжести. Она, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x₀ пружине. В отсутствие тяготения уравнение (3) имело бы такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине, в отличие от колебаний математического маятника.

Масса m и жёсткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (3) на m, запишем:

Это уравнение движения груза на пружине.

Проекция α_х ускорения груза прямо пропорциональна его смещению от положения равновесия х, взятому с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника.

Рассмотрим свободные колебания математического маятника. Будем считать, что силы трения в системе пренебрежимо малы.

Если отклонить маятник из положения равновесия на малый угол и отпустить, то сила тяжести _т и сила упругости нити _упр будут направлены под углом друг к другу, и они не уравновешиваются (рис. 5.9, а).

Разложим силу тяжести на две составляющие: силу _n, направленную вдоль нити, и силу _τ направленную по касательной к траектории движения шарика.

Векторы силы упругости нити _упр и нормальной составляющей силы тяжести _n перпендикулярны вектору скорости движения шарика. Они сообщают ему нормальное (центростремительное) ускорение. Действие этих сил не изменяет модуля скорости движения шарика, а приводит лишь к изменению направления его скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника. Под действием составляющей 1 силы тяжести _τ маятник будет двигаться к положению равновесия с нарастающей по модулю скоростью. В положении равновесия составляющая _τ равна нулю, а скорость достигает максимального значения, и маятник движется дальше, поднимаясь в крайнее левое положение — в точку В. Под действием возвращающей силы маятник снова будет двигаться к положению равновесия. Тем самым он будет совершать колебательное движение.

1 Эту составляющую силы тяжести называют тангенциальной. Тангенциальная составляющая _τ силы тяжести создаёт тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю.

Найдём проекцию на направление касательной силы тяжести _т в момент времени, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол α (см. рис. 5.9, б):

Если обозначить через х смещение маятника от положения равновесия по дуге окружности радиусом l, то угол отклонения маятника α = х / l. Второй закон Ньютона, записанный в проекциях на направление касательной, даёт:

В том случае, если углы отклонения нити от вертикали являются малыми, sin х / l можно приближённо заменить на х / l. Тогда

Это уравнение движения математического маятника.

Проекция ускорения математического маятника прямо пропорциональна смещению маятника от положения равновесия, взятому с противоположным знаком.

для пружинного маятника и

для математического маятника.

Если воспользоваться формулами (6) и (7), а также выражением T = 2π / ω,то можно записать:

— период колебаний пружинного маятника;

— период колебаний математического маятника.

Собственная частота колебаний груза на пружине определена согласно выражению (6). Она тем больше, чем больше жёсткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это понятно: более жёсткая пружина сообщает телу большее ускорение, т. е. быстрее меняет его скорость и, следовательно, уменьшает время одного колебания. А чем массивнее тело, тем медленнее оно изменяет скорость под действием данной силы.

Собственная частота колебаний математического маятника [см. формулу (7)] при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины нити и ускорения свободного падения. Период колебаний такого маятника возрастает с увеличением длины его нити, но при этом он не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.

Зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения можно обнаружить экспериментально. Чем меньше ускорение свободного падения, тем больше период колебаний маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 7 с, если их поднять на вершину Останкинской телебашни (высота 500 м 2 ).

2 Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.

Вопросы:

1. Какая сила вызывает свободные колебания:

а) пружинного маятника;

б) математического маятника?

2. Запишите формулу определения периода колебаний:

а) математического маятника;

б) пружинного маятника.

3. Почему собственная частота колебаний груза на пружине тем больше, чем больше жёсткость пружины?

4. Как изменится (уменьшится или увеличится) период колебаний математического маятника, если уменьшить длину его нити?

5. Зависит ли период колебаний математического маятника от массы груза?

Вопросы для обсуждения:

1. Точное значение высоты Останкинской телебашни составляет 540,1 м. Но в данном расчёте удобно использовать её приближённое значение.

2. Как будет изменяться период колебаний ведра с водой, подвешенном на длинном шнуре, если из отверстия в его дне постепенно будет вытекать вода?

3. Допустим, нам известен период колебаний одного из двух маятников разной длины. Как, не используя секундомер и линейку, определить период колебаний другого маятника?

Пример решения задачи

За одно и то же время один математический маятник совершил 50 полных колебаний, а другой маятник — 30. Найдите их длины, если один из них короче другого на 32 см.

Источник

Математический и пружинный маятники

Урок 38. Подготовка к ЕГЭ по физике. Часть 1. Механика.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Математический и пружинный маятники»

В данной теме разговор пойдёт о математическом и пружинном маятниках и их важных характеристиках.

Рассмотрим для начала математический маятник. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу. Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь:

1) размерами подвешенного тела, по сравнению с длиной нити;

2) сопротивлением движению тела;

3) массой нити и ее деформацией.

Рассмотрим подробно колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса движется прямолинейно и равномерно или же покоится. И так, пусть в начальный момент времени маятник покоится в положении равновесия. Тогда, действующие на маятник сила упругости нити и сила тяжести материальной точки взаимно компенсируются.

Теперь отклоним маятник на некоторое расстояние от точки равновесия и отпустим его. В этом случае, сила тяжести и сила упругости нити уже не будут компенсировать друг друга. Разложим вектор силы тяжести на две составляющих — тангенциальную и нормальную.

Как видим, тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, то есть она является возвращающей силой. При этом она сообщает материальной точке тангенциальное ускорение и маятник начнет двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. А нормальная составляющая силы тяжести, как видно из рисунка, направлена вдоль нити против силы упругости. Их равнодействующая сообщает маятнику нормальное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости. В результате маятник начинает двигаться по дуге.

Чем ближе маятник будет подходить к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и тем больше становиться скорость движения маятника. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила становится равной нулю.

При этом скорость движения маятника достигает своего максимума и, не останавливаясь, маятник продолжает свое движение дальше уже по инерции, поднимаясь по дуге вверх. При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник. Но так как возвращающая сила теперь направлена против движения маятника, то его скорость убывает и в точке D скорость маятника становится равной нулю.

Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Опять пройдя его по инерции, маятник, замедляя свое движение, дойдет до точки А, тем самым совершив одно полное колебание. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке B.

Его смещение от положения равновесия в этот момент равно длине дуги CB.

Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы (то есть тангенциальной составляющей силы тяжести), можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла отклонения маятника от вертикали.

Из геометрии известно, что по определению синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Также из геометрии известно, что при малых углах (то есть когда острый угол меньше десяти градусов) синус угла можно заменить его градусной мерой.

Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учетом последнего равенства.

Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Теперь применим второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории движения математического маятника.

Таким образом, имеются два уравнения, в которых равны их левые части. А раз равны левые, то и правые части этих равенств также должны быть равными. Сократив полученное равенство на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия.

Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника.

Теперь перепишем это уравнение следующим образом

А теперь сравним его с уравнением гармонических колебаний.

Из такой записи видно, что колебания математического маятника являются гармоническими. А так как рассмотренные колебания происходили только под действием внутренних сил, то это были свободные колебания. Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что при малых углах отклонения свободные колебания математического маятника являются гармоническими.

Также из анализа формул следует, что циклическая частота колебаний маятника равна квадратному корню из отношения ускорения свободного падения к длине маятника.

Помня о том, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний математического маятника.

Полученная формула называется формулой Гюйгенса, так впервые была получена нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом.

Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно использовать для расчета периода при выполнении одновременно двух условий:

1) колебания маятника должны быть малыми, так как эта формула дает результаты приемлемой точности (ошибка менее одного процента) при углах, не превышающих 4º;

2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, в которой находится маятник.

Дело в том, что если точка подвеса математического маятника движется с некоторым ускорением, то изменяется сила натяжения нити. Это приводит к изменению возвращающей силы, а, следовательно, частоты и периода колебаний. В этом случае в формуле периода математического маятника ускорение свободного падения следует заменить на так называемое «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета.

«Эффективное» ускорение можно найти, как векторную сумму ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору ускорения, с которым движется маятник.

Теперь рассмотрим колебания пружинного маятника. Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и материальной точки массой m.

В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают:

1) любыми силами сопротивления;

2) размерами тела, то есть тело принимают за материальную точку;

Различают два вида пружинных маятников — горизонтальный и вертикальный.

В горизонтальном пружинном маятнике, колебания тела происходят вдоль горизонтальной прямой.

У вертикального пружинного маятника колебания происходят вдоль вертикальной прямой.

Рассмотрим более подробно колебания идеального горизонтального пружинного маятника. Пусть в начальный момент времени пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия.

Теперь выведем тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, и отпустим его. И так, со стороны деформированной пружины на тело начнет действовать сила упругости, которая всегда будет направленна к положению равновесия, и под действием этой силы тело начнет ускоренно двигаться. При этом в самом крайнем положении на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение пружины наибольшее. Значит и ускорение тела в этом положении максимальное.

При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины начинает уменьшаться, а, следовательно, уменьшается и ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия, как и в случае с математическим маятником, она будет максимальна.

Достигнув положения равновесия, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована), а будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его. В точке D тело на мгновение остановится, так как его скорость окажется равной нулю. Но ускорение в этой точке максимально, так как максимальна действующая сила упругости и под действием этой силы тело начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия.

Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки A, то есть совершит одно полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

Получим уравнение, описывающее движение пружинного маятника. И так, согласно второму закону Ньютона, единственный результат действия силы упругости — это сообщение телу ускорения.

По закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна смещению тела и противоположно ему направлена.

Перепишем второй закон Ньютона с учетом определения силы упругости пружины.

Как видно из уравнения, ускорение маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему по направлению.

Перепишем уравнение следующим образом

Полученное равенство является динамическим уравнением движения пружинного маятника.

Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной

Учитывая, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний пружинного маятника.

По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника.

Рассмотрели математический и пружинный маятники. Рассмотрели условия возникновения свободных гармонических колебаний в таких системах. А также вспомнили формулы, по которым можно рассчитать период свободных колебаний математического и пружинного маятников.

Источник