Что означает коэффициент аппроксимации

Что такое R² в Excel, и зачем нужен тренд на графике?

Когда научный руководитель сказал мне о необходимости указать на графике R² (р квадрат), я растерялся. В тот момент я не знал о трендах в диаграммах и графиках Excel. Этот материал поможет сориентироваться начинающим.

Что такое R² в Экселе

Для примера возьмем данные о продажах умных часов по брендам. Саму таблицу и график можно найти по этой ссылке на сайте CounterPointResearch. Там много подобной информации.

Выделяем диапазон данных и добавляем диаграмму. Теперь наводим мышь на столбцы бренда Others — «остальные», нажимаем правую клавишу мыши. Выбираем пункт Добавить линию тренда.

По умолчанию тренд линейный. Чуть позднее расскажу, как выбрать иную функцию, и стоит ли это делать. Теперь подводим курсор мыши к тренду и снова нажимаем правую кнопку.

Добавляем на график R².

Как видим из названия пункта, это величина достоверности апроксимации. Максимальное значение параметра Р-квадрат единица. Но получить ее можно только на специально подогнанных данных в реальной жизни приемлемое значение 0,8-0,9. В нашем случае — 0,78, что неплохо.

Стоит ли добиваться максимального значения R²

Улучшить достоверность апроксимации можно меняя вид кривой. Это можно сделать в открывающемся справа окошке Формат линии тренда.

Если использовать полиноминальную функцию, то апроксимацию можно улучшить значительно. Но вот смысла это не имеет. Экономические показатели обычно укладываются в линейный (рост/падение) или экспоненциальный тренд. Экспоненциально, например, растет число клиентов быстрорастущей фирмы.

Выбор полиноминальной функции может и улучшит показатель достоверности, а вот прогноз сделает менее точным.

Как использовать тренд для прогноза

Кроме определения общего положения дел (рост/снижение), тренд может предсказать значения показателей в будущем. Это делается в окошке Формата линии тренда.

Попробуем предсказать продажи умных часов в первом квартале 2021 году и сравним их с фактом. Добавим два линейных тренда для Apple и Остальных.

Как видим, по яблочным часа прогноз построен верно, по остальным функция прогнозирует значение около 35%, а в реальности 46%. Возможно, это связано с выходом новых игроков на рынок или снижением доли Huawei. Мы имеем дело с относительными показателями (доля), а не с натуральными. Кстати, полиноминальный прогноз для категории Остальные дал бы еще менее точный прогноз, хотя R² и выше, что подтверждает необходимость осторожно выбирать функцию.

Почитайте и другие статьи про работу с таблицами Excel на нашем сайте. Например, у нас есть полезный материал об условном оформлении ячеек в таблице.

Источник

Коэффициент детерминации. Средняя ошибка аппроксимации.

Для оценки качества уравнения регрессии рассчитывают такие показатели, как:

1) Коэффициент детерминации показывает, какая часть вариации результата объяснена вариацией фактора:

(3)

или

Коэффициент детерминации принимает значения в диапазоне 0 ≤ R≤ 1.

Чем ближе к-т детерминации к 1, тем в большей степени уравнение пригодно для прогнозирования и тем лучше модель согласуется с данными наблюдений. При R=1 связь становится функциональной.

2)Средняя ошибка аппроксимации – показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических:

(4)

Допустимый предел ошибки аппроксимации – не более 15%.

3) F-критерий Фишера и t-критерий Стьюдента, с помощью которых определяется надежность уравнения регрессии в целом и отдельно его параметров.

Источник

Коэффициент детерминации или аппроксимации (RI или R2).

Квадрат коэффициента корреляции (r 2 ) называется коэффициентом детерминации или аппроксимации и обозначается RI или R 2 .Этот коэффициент показывает долю (%) тех изменений, которые в данном явлении зависят от изучаемого фактора. Коэффициент детерминации является более непосредственным и прямым способом выражения зависимости одной величины от другой, и в этом отношении он предпочтительнее коэффициента корреляции. В случаях, где известно, что независимая переменная у находится в причинной связи с независимой переменной х, значение r 2 показывает ту долю элементов в вариации у, которая определена влиянием х. Так, например, если было установлено, что коэффициент корреляции между дозой азотного удобрений и содержанием белка в зерне составил 0,96, то можно утверждать, что 92% (0,96 · 0,96) колебаний содержания белка в зерне обусловлено варьированием доз азотного удобрения.

В практической статистике, коэффициенты детерминации или аппроксимации более широко используются при характеристике изучаемых взаимосвязей. Его можно использовать не только для описания прямолинейной связи между признаками, но и криволинейной (в этом случае, его называют коэффициент аппроксимации, и он представляет собой квадрат корреляционного отношения ).

Обычно при определении взаимосвязи между изучаемыми признаками устанавливают последовательно коэффициент корреляции, коэффициент детерминации (или аппроксимации) и скорректированный коэффициент детерминации (RI_adj), который рассчитывается по формуле:

. (57)

Именно, скорректированный коэффициент детерминации позволяет судить с высокой степенью вероятности о том, насколько процентов варьирование результативного признака обусловлено варьированием факториального.

Множественная корреляция.Корреляцияназывается множественной если на величину результативного признака одновременно влияют несколько факториальных.

Частные коэффициенты корреляции рассчитываются по формулам:

; (58)

; (59)

. (60)

Ошибку и критерий значимости частной корреляции определяют аналогично, что и парной корреляции.

Множественный коэффициент корреляции нескольких переменных – это показатель тесноты связи между одним из признаков (буква индекса перед точкой) и совокупностью других признаков (буквы индекса после точки). Коэффициент корреляции трёх переменных рассчитывается по следующим формулам:

; (61)

; (62)

. (63)

Эти формулы позволяют легко вычислить множественные коэффициенты корреляции при известных значениях коэффициентов парной корреляции. Коэффициент R положителен и всегда находится в пределах от 0 до 1.

Квадрат коэффициента множественной корреляции называется коэффициентом множественной детерминации, который, как и обыкновенный коэффициент детерминации, обозначается RI или R 2 .

Значимость множественной корреляции оценивается по F – критерию:

, (64)

где n – объём выборки,

p – число независимых переменных или признаков.

Теоретическое значение F – критерия берут из приложения III для df₁ = р-1 и df₂ = n–p степеней свободы и принятого уровня значимости. Нулевая гипотеза о равенстве множественного коэффициента корреляции в совокупности нулю (Н₀ : R = 0) принимается, если F_факт

Регрессионный анализ заключается в том, чтобы отыскать линию (прямую в случае линейной корреляции, параболу первого, второго и т.д. порядка при криволинейной зависимости) наиболее точно выражающую зависимость одного признака от другого. Кроме того, при помощи регрессионного анализа можно выяснить ошибку опытных данных, влияющих на конечные результаты исследования.

Существует множество аналитических методов определения регрессии, которые зависят от типа регрессии (парная или множественная), а также от типа, по которому отмечается взаимосвязь (прямая линия, гипербола, парабола и т.д.).

Парная регрессияхарактеризует связь между двумя признаками: результативным и факторным. Аналитически связь между ними описывается уравнениями:

прямой ;

гиперболы

параболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость графически, однако в практике не часто прибегают к этому методу определения уравнения.

Оценка параметров уравнений регрессии (а, b₁, b₂…) осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит предположение о независимости наблюдений исследуемой совокупности и нахождении параметров модели при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

SS = → min

Рисунок 8. Прямая линия регрессии на графике зависимости содержания белка в зерне ячменя от дозы азотного удобрения

Рисунок 9. Параболическая линия регрессии на графике зависимости содержания белка в зерне ячменя от дозы азотного удобрения

В отношении установленной зависимости между дозами азотного удобрения и содержания белка в зерне ячменя данное правило можно интерпретировать так: прямая линия должна быть максимально приближена ко всем значениям х_у или у_х, что отчётливо отмечается на графике (рисунок 2 и рисунок 3)

Задача регрессионного анализа состоит в том, чтобы установить параметры уравнения регрессии (а, b₁, b₂…) или иными словами, описать взаимосвязь между изучаемыми показателями с помощью уравнения, оценить на какую величину изменяется значение результативного признака, при изменении факторного на единицу.

Нахождение параметров линейной парной регрессии общепринятым методом осуществляется решением системы нормальных уравнений следующего вида:

, (65)

где n – объём исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

В уравнениях регрессии параметр a показывает усреднённое влияние на результативный признак неучтённых в уравнении факторных признаков: коэффициент регрессии b показывает, на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при увеличении факторного на единицу собственного измерения. Таким образом, решая данную систему нормальных уравнений задача состоит именно в определении параметров уравнения регрессии a и b.

Уравнение линейной регрессии , в сельскохозяйственных и биологических исследованиях нередко представляют несколько в другом виде:

, (66)

или аналогично для нахождения теоретической линии регрессии х по у: , (67)

где и — средние арифметические для ряда х и у;

— коэффициент регрессии у по х,

Коэффициенты регрессии вычисляются по формулам:

; (68)

. (69)

Числители этих формул представляют собой сумму произведений отклонений значений х и у от своих средних (то есть числитель формулы (64) расчёта коэффициента корреляции), а знаменатели – сумму квадратов отклонений от средних. Таким образом, связь между коэффициентов корреляции и коэффициентом регрессии можно математически выразить так:

; . (70, 71)

Произведение коэффициентов регрессии равно коэффициенту детерминации:

=RI (72)

При регрессионном анализе проводят обычно две оценки выборочных коэффициентов регрессии: а) оценки величины отклонений от линии регрессии и б) оценку существенности b, то есть значимость отклонения его от нуля.

Ошибка коэффициента регрессии вычисляется по формуле:

и . (73, 74)

Критерий существенности коэффициента регрессии определяют по формуле:

(75)

Существенность коэффициента регрессии оценивают по приложению II, число степеней свободы df принимают равным n–2.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Значения критерия ω (по Н.Ф. Деревицкому)

Число степеней свободы	Уровень значимости	Число степеней свободы 5%-ный	Уровень значимости
5%-ный	1%-ный	5%-ный	1%-ный
1,41	1,41	1,93	2,45
1,64	1,72	1,93	2,45
1,76	1,92	1,93	2,46
1,81	2,05	1,93	2,46
1,85	2,14	1,94	2,47
1,87	2,21	1,94	4,47
1,88	2,26	1,94	2,48
1,90	2,29	1,94	2,48
1,90	2,32	1,94	2,49
1,91	2,34	1,94	2,49
1,92	2,35	1,94	2,50
1,92	2,38	1,94	2,50
1,92	2,39	1,94	2,50
1,92	2,41	1,94	2,51
1,93	2,42	1,95	2,53
1,93	2,43	1,95	2,54
1,93	2,44	1,96	2,55
	1,96	2,58

Стандартные значения критерия t (критерия Стьюдента) на 5%-ном, 1%-ном и 0,1%-ном уровне значимости (округлены до десятых)

Наиболее значимые стандартные значения критерия F (критерия Р.Фишера) на 5%-ном, 1%-ном (жирным шрифтом) уровне значимости

Источник

Электронная библиотека

Аппроксимацией (приближением) функции называется нахождение такой функции (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций и могут быть различные.

Основная задача аппроксимации — построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки, как в интерполяций) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Рис. 3.6 Метод Лагранжа

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой

— критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от «экспериментальных» (т.е. заданных), — критерий близости в заданных точках:

Здесь у_i — заданные табличные значения функции; у_i расч — расчетные значения по аппроксимирующей функции; b_i — весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-и точки (увеличение b,. приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению, прежде всего отклонения в i—й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).

Квадратичный критерий обладает рядом «хороших» свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

Другим распространенным критерием близости является следующий:

Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.

Выделяют две основные задачи:

1) получение аппроксимирующей функции, описывающей имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;

2) получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.

Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.

Метод наименьших квадратов

Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции у_i расч (х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной:

Запишем выражение критерия аппроксимации при b_i =1 (i=1, 2,…, n) для полиномиального у_i расч (х):

Искомые переменные а_j можно найти из необходимого условия минимума R по этим переменным, т.е. dR / dа_р = 0 (для _р =0, 1,2,…,k). Продифференцируем по а_р (р — текущий индекс):

После очевидных преобразований (сокращение на два, раскрытие скобок, изменение порядка суммирования) получим

Перепишем последние равенства

Получилась система n+1 уравнений с таким же количеством неизвестных а_j, причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры а_j аппроксимирующей функции, обеспечивающие minR, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину R (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений х_i, у_i, или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами. Обратим внимание на то, что коэффициенты а_j полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к тому, что если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования экспериментов, которая

позволяет обосновать и рассчитать значения х_i, используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальная дисперсия коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равная точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальная дисперсия предсказания значения функции и т.д.).

Рис. 3.7 Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации

В случае постановки другой задачи — найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность не хуже заданной, — необходимо подбирать и структуру этой функции. Эта задача значительно сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости. Для примера на рис. 3.7 приведены для визуального сравнения исходная и аппроксимирующие функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной структурой. Не следует забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной при использовании.

Рассмотрим решение задачи аппроксимации и интерполяции с шумом в

программе MathCAD (рисунок 3.8).

Источник