Что означает коэффициент б в квадратичной функции
Как определить a, b и c по графику параболы
Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.
1 способ – ищем коэффициенты на графике
Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.
Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:
— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.
Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:
Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.
Решаем систему.
Пример:
Вычтем из второго уравнения первое:
Подставим \(9a\) вместо \(b\):
Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:
Подставим в первое уравнение \(a\):
Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).
Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).
Таким образом имеем систему:
Сложим 2 уравнения:
Подставим во второе уравнение:
Теперь найдем точки пересечения двух функций:
Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:
3 способ – используем преобразование графиков функций
Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.
Сам способ базируется на следующих идеях:
График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).
– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.
График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.
Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).
А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).
То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:
Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:
Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).
Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).
Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).
Квадратичная функция (ЕГЭ 2022)
Проверь себя, ответь на эти вопросы:
В конце статьи ты будешь знать ответы на эти вопросы.
Квадратичная функция — коротко о главном
Квадратичная функция – функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (коэффициенты), \( c\) – свободный член.
График квадратичной функции – парабола.
Вершина параболы: \( \displaystyle <
Квадратичная функция вида: \( y=a<
Чем больше значение \( \displaystyle a\) (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше \( \displaystyle a\), тем парабола шире.
Варианты расположения параболы в зависимости от коэффициента \( \displaystyle a\) и дискриминанта \( \displaystyle D=<^<2>>-4ac\).
Что такое функция?
Не знаешь? Тогда сперва прочитай тему «Функции» – она несложная, но очень важная.
А мы пока повторим.
Функция – это правило, по которому каждому элементу одного множества (аргументу) ставится в соответствие некоторый (единственный!) элемент другого множества (множества значений функции).
То есть, если у тебя есть функция \( y=f\left( x \right)\), это значит что каждому допустимому значению переменной \( x\) (которую называют «аргументом») соответствует одно значение переменной \( y\) (называемой «функцией»).
Что значит «допустимому»? Если не можешь ответить на этот вопрос, еще раз вернись к теме «Функции».
Все дело в понятии «область определения»:
Для некоторых функций не все аргументы можно подставить в зависимость.
Например, для функции \( y=\sqrt
Кстати, а с линейной функцией ты уже дружишь? Про нее все написано в теме «Линейная функция» – там ты поймешь, что в функциях ничего страшного нет и научишься понимать и использовать коэффициенты (это циферки перед буквой \( x\)).
И еще, надеюсь, ты умеешь решать квадратные уравнения? Освежить память можно, почитав тему «Квадратные уравнения».
Квадратичная функция — подробнее
Квадратичная функция – это функция вида \( y=a<
^<2>>+bx+c\), где \( a\ne 0\), \( b\) и \( c\) – любые числа (они и называются коэффициентами).
Число \( a\) называют старшим или первым коэффициентом такой функции, \( b\) – вторым коэффициентом, а \( c\) – свободным членом.
Другими словами, квадратичная функция – это зависимость, содержащая аргумент в квадрате. Отсюда и ее название.
Как уже говорилось в теме «Функции», важнейшими понятиями, связанными с любой функцией, являются ее область определения \( D\left( y \right)\) и область значений\( E\left( y \right)\).
Какими могут быть значения аргумента квадратичной функции \( y=a<
Значит, область определения – все действительные числа:
А теперь множество значений. Все ли значения может принимать функция?
Достаточно рассмотреть самую простую квадратичную функцию \( y=<
\), чтобы убедиться в обратном: ведь какое бы число мы не возводили в квадрат, результат всегда будет больше или равен нулю.
Значит, эта функция всегда не меньше нуля.
А вот больше нуля она может быть сколько угодно: ведь бесконечно большой x в квадрате будет еще больше.
Таким образом, можем написать для \( y=<
В каждом отдельном случае область значений будет разная, но всегда – ограниченная.
График квадратичной функции
Наверняка ты слышал, что график квадратичной функции называется параболой. Как она выглядит? Сейчас нарисуем
Кстати мы очень подробно разобрали как быстро и правильно рисовать параболу. Переходи по ссылке и всему научишься.
Начнем с простейшей квадратичной функции – \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| y | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
Нарисуем эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией:
Именно так и выглядит парабола. Самая нижняя ее точка называется вершиной, а части спарва и слева от вершины называем ветвями параболы. Как видим, ветви симметричны относительно вертикали, проходящей через вершину.
Рассмотрим теперь другую функцию: \( y=<
Составим таблицу значений:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| y | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | 0 | 5 |
Сравним два рисунка.
Видно, что это как будто одна и та же парабола, просто расположенная в разных местах.
Во второй параболе вершина переместилась в точку \( \left( 1;-4 \right)\), а ветви переехали вместе с ней.
Да, так оно и есть: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом, a выглядят одинаково – даже при разных остальных коэффициентах.
Кстати, если хочешь научиться быстро и правильно рисовать график квадратичной функции, то переходи по ссылке, там отличная статья.
Коэффициенты квадратичной функции
Давай разберем, на что влияют коэффициенты квадратичной функции.
Начнем со старшего коэффициента.
Будем рассматривать функции вида \( y=a<
Что ты видишь? Чем они отличаются? Какую закономерность можно заметить?
Во-первых, это невозможно не заметить, если \( \displaystyle \mathbf \mathbf<0>\) – вверх.
Значит, если парабола пересекает ось \( \displaystyle Ox\) в двух точках, то у нас два корня квадратного уравнения.
Если не пересекает – корней нет.
Но бывает ведь, что дискриминант уравнения равен нулю, и тогда только один корень. В этом случае парабола касается оси \( \displaystyle Ox\) вершиной:
А что такое вершина параболы?
Вершина параболы
Корень уравнения в этом случае указывает на вершину параболы. Если вспомнить формулу корня квадратного уравнения при \( \displaystyle D=0\), получим формулу вершины:
Это тоже бывает очень полезно.
Итак, всего возможны шесть разных вариантов расположения параболы. Вот они все на одном рисунке:
А теперь порешаем задачки.
Решение задач
1. График какой из функций избражен на рисунке?
2. Найдите сумму корней квадратного уравнения \( a<
3. Найдите произведение корней квадратного уравнения \( a<
4. По графику функции \( y=<
Решения
1. Первое: куда «смотрят» ветви параболы? Вниз. А что это значит? Правильно, \( \displaystyle a
Преобразования графиков функций (ЕГЭ 18. Задачи с параметром)
Научились строить график какой-то функции? А что, если я теперь поменяю один из коэффициентов? Или «заключу» часть функции в модуль?
Можно ли не строить для этого новый график, а просто передвинуть/растянуть старый?
Можно! И на этом уроке мы научимся производить такие трансформации.
Благодаря таким трансформациям мы станем понимать, как выглядят графики функций при всех значениях параметра и научимся решать задачи из ЕГЭ на эту тему.
Квадратичная функция. Построение параболы
8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.
Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Построение квадратичной функции
Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:
График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :
Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.
График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:
Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:
Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:
Рассмотрим три случая:
Если a > 0, то график выглядит как-то так:
0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>
На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.
Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:
Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.
Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).
На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:
Алгоритм построения параболы
Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.
Как строим:
В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:
Как строим:
Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)
Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).
Как строим:
Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:
(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.
Определим координаты вершины параболы:
Найти точку пересечения с осью OY:
с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.
Квадратичная функция и её график
Парабола является графиком квадратичной функции, которая задается формулой y = ax 2 + bx + c.
Нарисовать параболу можно, используя таблицу значений, в которой мы выбираем произвольный х и находим у. Но не всегда этот способ является самым рациональным.
Начнем, как всегда, с простого)
Стандартная парабола.
На координатной плоскости отмечаем эти точки и чертим параболу.
Начало координат тоже является вершиной этой параболы, как и в предыдущем случае, но ветви уже будут направлены вниз:
Если у тебя черный пояс по рисованию стандартных парабол, то следующий раздел пройдет у тебя «на ура».
Параболы со смещенной вершиной.
Зачем я начала статью со стандартной параболы? Ответ прост. Графиком любой квадратичной функции y = ±x 2 + bx + c (обязательно коэффициент перед х 2 должен равняться ±1) является стандартной параболой, только вот вершины этих парабол не будут находится в начале координат.
Чтобы начертить подобные параболы нужно сначала узнать, где находится вершина.
Пусть вершиной параболы будет точка О с координатами (x1; y1). Тогда найти эти координаты можно по формулам:
Кстати, можно найти координаты вершины и другим способом.
Координату хО находим по той же формуле, а координату уО можно найти подстановкой координаты хО в функцию.
Без примера не обойтись)
Найдем сначала вершину параболы двумя способами, чтобы убедится, что оба способа рабочие.
1 способ: по формулам.
2 способ: подстановкой.
Одну координаты мы уже нашли по формуле. Подставляем ее в исходную функцию.
Параболы-стройняшки и параболы-пухляшки.
Удивительно, но числовой коэффициент перед х 2 оказывается влияет на стройность и полноту парабол.
Если числовой коэффициент лежит в промежутке (-1; 0) ∪ (0; 1), то парабола будет более обширно смотреться на координатной плоскости.
Не веришь? Давай проверим! Для примера возьмем две функции:
К сожалению, здесь схитрить не получится: обе параболы нестандартные и для обеих необходимо создать таблицы значений. Но перед эти определимся с их вершинами.
Переходим к таблицам значений.
| x | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| y | 3 | 6 | 7 | 6 | 3 |
| x | -1,5 | -1 | -0,25 | 0 | 1 |
| y | -3 | 1 | 4,5 | 3 | -3 |
Чертим обе параболы по получившимся координатам.
Вот о чем я и говорила) Перед тобой парабола-стройняшка и парабола-пухляшка во всей красе.
Практикум по параболам.
Теорию о параболах можно еще писать и дальше, но тебя, скорее всего, интересует практика по графикам.
Поскольку речь идет о параболах, то с параболами мы и будем сейчас возиться.
Задание 1. На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с отрицателен, то график пересекает ось Оу ниже нуля. Подходит график 1.
Б) Если коэффициент а отрицателен, то ветви направлены вниз; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 3.
В) Если коэффициент а положителен, то ветви направлены вверх; если коэффициент с положителен, то график пересекает ось Оу выше нуля. Подходит график 2.
Задание 2 (наоборот). На рисунке изображены графики функций вида y = ax 2 + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
А) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу выше нуля, значит и с > 0. Подходит вариант под номером 3.
Б) Ветви направлены вверх, значит а > 0; график пересекает ось Оу ниже нуля, значит и с 0. Подходит вариант под номером 2.
Задание 3. Установите соответствие между графиками и их функциями.
Дальше рекомендую отработанную годами технику. Она минимизирует твои ошибки, если ты, конечно, умеешь считать)
Задание 4 (наоборот, но принципе тот же). Установите соответствие между функциями и их графиками.
На графике 1 выбираем точку. Вершина снова четкая, но для разнообразия давайте возьмем другую точку, например, точку с координатами (-4; 1). Будь внимателен и смотри, чтобы точно такой же точки не было на третьем графике!