Что означает коэффициент k в линейной функции
Функция « y = kx » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Функция « y = kx » — это первый тип функции, который изучается в математике.
На месте « k » может стоять любое число (положительное, отрицательное или дробь).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » стоит число.
Примеры функций вида « y = kx ».
| Функция | Коэффициент « k » | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| y = 4x | k = 4 | ||||
| y = −1,5x | k = −1,5 | ||||
y =
x | k =
|
Как построить график функции « y = kx »
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательства), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из этой аксиомы, что чтобы построить график функции вида « у = kx » нам будет достаточно найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −4x ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика
функции « y = −4x ».
Запишем полученные координаты точек « y = −4x » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 0 |
| (·)B | 1 | −4 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая и будет являться графиком функции « y = −4x ».
После построения не забудьте подписать график функции.
Как решать задачи на функцию « y = kx »
Построить график функции « y = −1,5x ». Найти по графику:
Вначале построим график функции « y = −1,5x ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = −1,5x » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 = 0 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 = −1,5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = −1,5x ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = −1,5x ».
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | −1,5 |
| 2 | −3 |
| 3 | −4,5 |
Выполним те же действия, что и при решении предыдущего задания. Разница будет лишь в том, что изначально мы будем проводить перпендикуляры
от оси « Oy ».
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −3 | 2 |
| 4,5 | −3 |
| 6 | −4 |
Перейдем к последнему заданию. Нас просят найти несколько целых значений « x », при которых значения « y » положительны (отрицательны).
Для решения этой задачи необходимо внимательно изучить
график функции « y = −1,5x ».
Отметим область на оси « Oy », где значения « y » для графика функции « y = −1,5x » положительны.
Помните, что по заданию, нас просят найти несколько «целых» значений « x ». Поэтому перпендикуляры мы будем проводить к оси « Ox » в целые числовые значения.
Теперь найдем при каких « x », значения « y » отрицательны. Отметим область на оси « Oy », где значения « y » на графике функции отрицательны.
Проведем перпендикуляры из отмеченной области к оси « Ox » в целые числовые значения « x ».
Рассмотрим другую задачу.
Подробный разбор задачи «Как проверить, что точка принадлежит графику функции» мы приводили в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этом уроке мы вспомним только основные моменты решения подобных задач.
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
Линейная функция « y = kx + b » и её график
Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.
Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).
Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.
Примеры функций типа « y = kx + b ».
| Функция | Коэффициент « k » | Коэффициент « b » | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| y = 5x + 3 | k = 5 | b = 3 | ||||
| y = −x + 1 | k = −1 | b = 1 | ||||
y =
x − 2 | k =
| b = −2 | ||||
| y = 0,5x | k = 0,5 | b = 0 |
Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».
Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.
Как построить график линейной функции
« y = kx + b »
Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.
Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.
Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».
Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».
Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.
Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.
Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » (абсцисса) | Координата по оси « Оy » (ордината) |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | 1 |
| (·)B | 1 | −1 |
Отметим полученные точки на системе координат.
Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».
Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »
Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:
Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».
Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.
Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».
Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = 2 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = 2 ·1 + 3 = 5 |
Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.
Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».
Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».
Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».
В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.
Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « x » | Полученное с графика значение « y » |
|---|---|
| −1 | 1 |
| 2 | 7 |
| 3 | 9 |
| 5 | 13 |
Запишем полученные результаты в таблицу.
| Заданное значение « y » | Полученное с графика значение « x » |
|---|---|
| −1 | −2 |
| 0 | −1,5 |
| 1 | −1 |
| 4 | 0,5 |
Как проверить, проходит ли график через точку
Рассмотрим другое задание.
Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.
Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.
−2 = 2 · 1 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 2 −
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 3 |
| 3 |
−
| 1 |
| 3 |
−2 = 1
| 2 |
| 3 |
(неверно)
Как найти точки пересечения графика с осями
Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.
Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.
Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».
| Точка | Координата по оси « Оx » | Координата по оси « Оy » |
|---|---|---|
| (·)A | 0 | y(0) = −1,5 · 0 + 3 = 3 |
| (·)B | 1 | y(1) = −1,5 · 1 + 3 = 1,5 |
Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».
Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:
Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:
Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.
Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».
График линейной функции, его свойства и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Понятие функции
Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.
Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:
График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.
Понятие линейной функции
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.
Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.
Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.
Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.
Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:
Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.
Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.
Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.
Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».
| Функция | Коэффициент «k» | Коэффициент «b» |
|---|---|---|
| y = 2x + 8 | k = 2 | b = 8 |
| y = −x + 3 | k = −1 | b = 3 |
| y = 1/8x − 1 | k = 1/8 | b = −1 |
| y = 0,2x | k = 0,2 | b = 0 |
Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».
Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!
Свойства линейной функции
Построение линейной функции
В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:
В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:
Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.
В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).
В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.
Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.
При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.
Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.
Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>
Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:
0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>
Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:
Решение задач на линейную функцию
Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!
Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).
Линейная функция, ее свойства и график
теория по математике 📈 функции
Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.
Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.
Число k называется угловым коэффициентом прямой.
Свойства линейной функции
Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.
Пример №1
Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:
Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).
Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:
Вписываем в таблицу значения у:
Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),
Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.
Пример №2.
Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.
По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).
Пример №3
Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:
Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.
На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.
В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Установите соответствие между функциями и их графиками.
Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:
График данной функции зависит от k и b.
pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить
Линейная функция
Линейная функция — функция вида График линейной функции — прямая.
Для построения графика линейной функции достаточно двух точек — потому что через две несовпадающие точки всегда можно провести прямую, причем единственную.
Угловой коэффициент прямой
Величина k в формуле линейной функции называется угловым коэффициентом прямой
Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона графика линейной функции к положительному направлению оси Х.
Пусть Чем больше k, тем круче вверх идет график функции.
Заметим, что прямая (также изображенная на рисунке) не является графиком функции в нашем обычном, школьном смысле слова. В самом деле — мы помним, что функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества Y.
Для прямой это не выполняется: значению соответствует бесконечно много значений у.
Если прямые параллельны.
При этом, чем больше b, тем выше расположен на координатной плоскости график функции.
Например, прямые и параллельны. Их угловые коэффициенты равны.
Если прямые перпендикулярны. Например, прямые и пересекаются под прямым углом. Произведение их угловых коэффициентов равно — 1.
Построение графика линейной функции
График линейной функции построить легко — достаточно двух точек.
Оказывается, что привычный нам вид уравнения прямой — не единственно возможный.
Уравнение прямой можно записать также в виде
Построим, например, прямую, заданную уравнением
Значит, наша прямая проходит через точки и
Зачем изучать линейную функцию?
Дело в том, что многие зависимости в природе и технике описываются формулой виде
Например, закон Ома для участка цепи: Напряжение U прямо пропорционально силе тока I.
Обратите внимание, что в формулу линейной функции аргумент х входит в первой степени. Мы просто умножаем х на угловой коэффициент k и прибавляем b.