Что означает конгруэнтность в геометрии
Конгруэнтность (геометрия)
Две фигуры называются конгруэнтными, или равными, если существует изометрия плоскости, которая переводит одну в другую. Например, в евклидовой геометрии две фигуры называются конгруэнтными, если одна из них может быть переведена в другую сдвигом, вращением и зеркальным отображением (или их композицией).
См. также
Смотреть что такое «Конгруэнтность (геометрия)» в других словарях:
НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ — геометрия, сходная с геометрией Евклида в том, что в ней определено движение фигур, но отличающаяся от евклидовой геометрии тем, что один из пяти ее постулатов (второй или пятый) заменен его отрицанием. Отрицание одного из евклидовых постулатов… … Энциклопедия Кольера
РИМАНА ГЕОМЕТРИЯ — э л л и п т и ч е с к а я г е о м е т р и я, одна из неевклидовых геометрий, т. е. геометрич, теория, основанная на аксиомах, требования к рых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии в Р. г.… … Математическая энциклопедия
Равенство — может означать: Равенство в Викисловаре … Википедия
КОЛИЧЕСТВО — филос. категория, отображающая общее в качественно однородных вещах и явлениях. Чтобы выявить в них это общее, необходимо, во первых, установить их однородность, т.е. показать, в каком именно отношении они эквивалентны между собою, во вторых,… … Философская энциклопедия
ПРОЕКТИВНОЕ МЕРООПРЕДЕЛЕНИЕ — введение в подмножествах проективного пространства методами проективной геометрии такой метрики, при к рой эти подмножества оказываются изоморфными евклидову, гиперболическому или эллиптическому пространствам. Это достигается выделением из класса … Математическая энциклопедия
Эндопротезирование суставов — Эндопротезирование суставов медицинская манипуляция при которой производится замена сустава его искусственным аналогом Содержание 1 Эндопротезирование суставов … Википедия
Движение (в геометрии) — Движение в геометрии, преобразования пространства, сохраняющие свойства фигур (размеры, форму и др. ) Понятие Д. сформировалось путем абстракции реальных перемещении твердых тел. Д. евклидова пространства геометрическое преобразование… … Большая советская энциклопедия
В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую же форму и размер, что и зеркальное отображение другого.
В элементарной геометрии слово конгруэнтное часто используется следующим образом. Слово равно часто используется вместо конгруэнтного для этих объектов.
В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.
Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (Большинство определений рассматривают конгруэнтность как форму подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)
СОДЕРЖАНИЕ
Определение конгруэнтности многоугольников
Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:
Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, полигоны не совпадают.
Конгруэнтность треугольников
Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.
Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:
Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.
Определение конгруэнтности
Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:
Боковой угол
Условие SSA (сторона-сторона-угол), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или угол-сторона-сторона), само по себе не доказывает совпадения. Чтобы показать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и, в некоторых случаях, длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с использованием теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника совпадают. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая их различать, может привести к доказательству соответствия.
Угол-угол-угол
В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не дает информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.
Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности.
CPCTC
Более подробно, это сжатый способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть
Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как совпадающие по критериям SSS, и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.
Определение сравнения в аналитической геометрии
В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат совпадают тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.
Конгруэнтные конические сечения
Конгруэнтные многогранники
Конгруэнтные треугольники на сфере
Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). Это можно увидеть следующим образом: можно расположить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и пройти стороной с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.
Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников).
Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не верна для сферических треугольников. Как и в случае с плоской геометрией, боковой-боковой угол (SSA) не подразумевает конгруэнтности.
Обозначение
Конгруэнтность (геометрия)
В геометрии две фигуры или объекты являются конгруэнтными, если они имеют одинаковую форму и размер, или если один имеет такую же форму и размер, что и зеркальное отображение другого. [1]
В элементарной геометрии слово конгруэнтное часто используется следующим образом. [2] Слово равно часто используется вместо конгруэнтного для этих объектов.
В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур подразумевает, что их соответствующие характеристики «совпадают» или «равны», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.
Связанная концепция подобия применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)
Содержание
Определение конгруэнтности многоугольников
Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:
Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.
Конгруэнтность треугольников
Два треугольника конгруэнтны, если их соответствующие стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.
Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:
Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.
Определение конгруэнтности
Достаточные доказательства соответствия между двумя треугольниками в евклидовом пространстве могут быть представлены с помощью следующих сравнений:
Боковой угол
Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, если соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известным как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с помощью теоремы Пифагора, что позволяет вычислить постулат SSS. применяемый.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это неоднозначный случай, и из данной информации могут быть образованы два разных треугольника, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.
Угол-угол-угол
В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство, а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.
Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника зависит от размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности. [4]
CPCTC
Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF совпадают, то есть
Это утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника были показаны как конгруэнтные по критериям SSS, и утверждение, что соответствующие углы совпадают, необходимо в доказательстве, то CPCTC может использоваться в качестве обоснования этого утверждения.
Определение конгруэнтности в аналитической геометрии
В евклидовой системе конгруэнтность фундаментальна; это аналог равенства для чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точки во втором отображении.
Конгруэнтные конические сечения
Конгруэнтные многогранники
Конгруэнтные треугольники на сфере
Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть, у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). [9] Это можно увидеть следующим образом: можно поместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.
Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). [9]
Теорема сравнения плоскость-треугольник, угол-угол-сторона (AAS) не выполняется для сферических треугольников. [10] Как и в плоской геометрии, угол наклона стороны-стороны (SSA) не подразумевает конгруэнтности.
Обозначение
Разница между конгруэнтным и равным
Содержание:
Конгруэнтный против равного
Равно
Равный означает, что величины или размеры любых двух сравниваемых одинаковы. Концепция равенства знакома в нашей повседневной жизни; однако как математическое понятие его следует определять с помощью более строгих мер. В разных полях используется другое определение равенства. В математической логике это определяется с помощью аксиом Паэно. Равенство относится к числам; часто числа, представляющие свойства.
В контексте геометрии равенство имеет те же значения, что и в обычном использовании термина «равно». В нем говорится, что если атрибуты двух геометрических фигур одинаковы, то эти две фигуры равны. Например, площадь треугольника может быть равна площади квадрата. Здесь речь идет только о размере «площади» собственности, и они совпадают. Но сами цифры нельзя считать одинаковыми.
Конгруэнтный
В контексте геометрии конгруэнтность означает равенство как фигур (формы), так и размеров. Или, проще говоря, если одно можно рассматривать как точную копию другого, тогда объекты конгруэнтны, независимо от их расположения. Это эквивалентное понятие равенства, используемое в геометрии. В случае сравнения в аналитической геометрии также даются гораздо более строгие определения.
Независимо от ориентации показанных выше треугольников, их можно расположить так, чтобы они полностью перекрывали друг друга. Следовательно, они одинаковы по размеру и форме. Следовательно, они являются конгруэнтными треугольниками. Фигура и ее зеркальное отображение также совпадают. (Их можно перекрывать после поворота вокруг оси, лежащей в плоскости формы).
В приведенном выше примере, хотя фигуры являются зеркальными отражениями, они совпадают.
Конгруэнтность в треугольниках важна при изучении геометрии плоскости. Чтобы два треугольника были равны, соответствующие углы и стороны должны быть равны. Треугольники можно считать конгруэнтными, если выполняются следующие условия.
• SSS (сторона сторона сторона) если все три соответствующие стороны равны по длине.
• SAS (сторона бокового угла) Пара соответствующих сторон и включенный угол равны.
• ASA (Угол стороны угла) Пара соответствующих углов и включенная сторона равны.
• AAS (Angle Angle Side) Пара соответствующих углов и не включенная сторона равны.
• HS (катет гипотенузы прямоугольного треугольника) Два прямоугольных треугольника конгруэнтны, если гипотенуза и одна сторона равны.
Случай AAA (Angle Angle Angle) НЕ является случаем, когда соответствие всегда действительно. Например, следующие два треугольника имеют равные углы, но не совпадают, потому что размеры сторон разные.
В чем разница между конгруэнтным и равным?
• Если некоторые атрибуты геометрических фигур одинаковы по величине, то они считаются равными.
• Если и размеры, и фигуры равны, то цифры считаются совпадающими.
• Равенство касается величины (чисел), в то время как конгруэнтность касается как формы, так и размера фигуры.
В геометрия, две фигуры или предметы конгруэнтный если у них то же самое форма и размер, или если он имеет ту же форму и размер, что и зеркальное изображение другого. [1]
Более формально, два набора точки называются конгруэнтный тогда и только тогда, когда одно может быть преобразовано в другое изометрия, т.е. комбинация жесткие движения, а именно перевод, а вращение, а отражение. Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Таким образом, две отдельные плоские фигуры на листе бумаги являются конгруэнтными, если мы можем вырезать их, а затем полностью сопоставить. Переворачивание бумаги разрешено.
В элементарной геометрии слово конгруэнтный часто используется следующим образом. [2] Слово равный часто используется вместо конгруэнтный для этих объектов.
В этом смысле, две плоские фигуры совпадают означает, что их соответствующие характеристики являются «конгруэнтными» или «равными», включая не только их соответствующие стороны и углы, но также их соответствующие диагонали, периметры и площади.
Родственная концепция сходство применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (В большинстве определений конгруэнтность рассматривается как форма подобия, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы считаться подобными.)
Содержание
Определение конгруэнтности многоугольников
Конгруэнтность многоугольников можно установить графически следующим образом:
Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не совпадают.
Конгруэнтность треугольников
Два треугольники конгруэнтны, если соответствующие им стороны равны по длине, а соответствующие им углы равны по мере.
Если треугольник ABC конгруэнтен треугольнику DEF, математически это соотношение можно записать как:
Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.
Определение конгруэнтности
Достаточно доказательств соответствия между двумя треугольниками в Евклидово пространство можно показать с помощью следующих сравнений:
Боковой угол
Условие SSA (side-side-angle), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известный как ASS, или angle-side-side) само по себе не доказывает совпадения. Чтобы продемонстрировать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как измерение соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине соседней стороны (SSA, или длинная сторона-короткий боковой угол), то эти два треугольника совпадают. Противоположная сторона иногда длиннее, когда соответствующие углы острые, но она всегда длиннее, когда соответствующие углы прямые или тупые. Если угол является прямым углом, также известный как постулат гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третья сторона может быть вычислена с использованием Теорема Пифагора тем самым позволяя применить постулат SSS.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA, а соответствующие углы являются острыми, а длина стороны, противоположной углу, равна длине смежной стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.
Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы являются острыми и длина стороны, противоположной углу, больше, чем длина смежной стороны, умноженная на синус угла (но меньше длины соседней стороны), тогда нельзя показать, что два треугольника конгруэнтны. Это двусмысленный случай и два разных треугольника могут быть сформированы из данной информации, но дополнительная информация, позволяющая различать их, может привести к доказательству соответствия.
Угол-угол-угол
В евклидовой геометрии AAA (угол-угол-угол) (или просто AA, поскольку в евклидовой геометрии углы треугольника в сумме составляют 180 °) не предоставляет информации о размере двух треугольников и, следовательно, доказывает только сходство а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.
Однако в сферическая геометрия и гиперболическая геометрия (где сумма углов треугольника зависит от его размера) AAA достаточно для сравнения на заданной кривизне поверхности. [4]
CPCTC
Этот акроним означает Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны сокращенный вариант определения конгруэнтных треугольников. [5] [6]
Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники ABC и DEF конгруэнтны, то есть
Утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда требуется заключение о конгруэнтности частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников была установлена. Например, если два треугольника конгруэнтны SSS критерии и утверждение, что соответствующие углы конгруэнтны, необходимо в доказательстве, тогда CPCTC может использоваться как обоснование этого утверждения.
Связанная теорема CPCFC, в котором «треугольники» заменены на «фигуры», так что теорема применима к любой паре полигоны или же многогранники которые совпадают.
Определение конгруэнтности в аналитической геометрии
В Евклидова система, соответствие фундаментально; это аналог равенства для чисел. В аналитическая геометрия, конгруэнтность может быть определена интуитивно так: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда любой две точки в первом отображении, Евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точками во втором отображении.
Конгруэнтные конические сечения
Два конических участка совпадают, если их эксцентриситет и еще один отличительный параметр, характеризующий их, равны. Их эксцентриситет определяет их формы, равенства которых достаточно для установления сходства, а второй параметр затем устанавливает размер. С двух круги, параболы, или же прямоугольные гиперболы всегда имеют одинаковый эксцентриситет (в частности, 0 в случае кругов, 1 в случае парабол и 2 
в случае прямоугольных гипербол) две окружности, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно другое общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтными.
Конгруэнтные многогранники
Для двух многогранники с таким же номером E ребер, такое же количество лица, и такое же количество сторон на соответствующих гранях, существует набор не более E измерения, которые могут установить, конгруэнтны ли многогранники. [7] [8] За кубики, которые имеют 12 граней, необходимо только 9 измерений.
Конгруэнтные треугольники на сфере
Как и в случае плоских треугольников, на сфере два треугольника, разделяющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть у них есть три одинаковые стороны и три одинаковых угла). [9] Это можно увидеть следующим образом: можно разместить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону с заданной длиной вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах сегмента фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят с однозначно определенной траекторией и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действительна.
Теоремы сравнения сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также верны для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют одинаковую последовательность угол-угол-угол (AAA), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). [9]
Теорема сравнения плоскость-треугольник угол-угол-сторона (AAS) не верна для сферических треугольников. [10] Как и в плоской геометрии, боковой угол (SSA) не подразумевает конгруэнтности.
Обозначение
Обычно для сравнения используется символ равенства с тильда над ним, ≅, соответствующий Unicode символ «примерно равно» (U + 2245). В Великобритании трехбалочный знак равенства ≡ (U + 2261) иногда используется.