Что означает простые множители

Что такое множитель и разложение на простые множители

Дадим определение понятию «множитель» и разберемся что такое множитель. Какие множители бывают и почему некоторые из множителей — простые.

Определение множителя

В младших классах вы учили, что множители — это числа, которые мы умножаем, называя результат их умножения произведением.

Определения множителя как компонента умножения

Сейчас немного расширим понятие множителя.

Давайте рассмотрим определение множителя на примерах. Давайте определим где в представлении числа или выражения прячется множитель?

Пример 1

Пусть нам дано число 15. Это число можно представить в виде произведения . Значит, согласно определению 5 — это множитель, 3 — это тоже множитель.

Пример 2

Рассмотрим теперь выражение: . Это выражение можно представить в виде произведения . Получаем два множителя — первый множитель (2x-3) и второй множитель (2x+3).

Самое простое произведение имеет два множителя, но может быть и больше множителей.

Простые множители

Пример 1

Разложите число 65 на простые множители.

Решение: число 65 будем делить на простые числа, пока оно нацело не разделится. Так мы видим, что число 65 не делится на 2, 3 и 4, так как не соответствует признакам делимости на эти числа. Зато делится на 5, так как оканчивается на 5. При делении мы получаем 13. Число 13 — простое, так как делится только на себя и на единицу. Таким образом, число . И мы выполнили разложение числа на простые множители. Теперь вы знаете, как разложить число на простые множители.

Пример 2

Разложите число 270 на простые множители.

Решение: Разделим сначала число 270 на 2 (сначала берем самое маленькое простое число), получим 135. Посмотрим, делится ли это число на 3. Для этого сложим все числа, стоящие в разрядах данного числа — . Девять делится на 3, значит, и число 135 разделится на 3: . Получившееся число опять делится на 3: . И снова число 15 делится на 3: . Получили простое число 5. Делим .

Итак, запишем разложение числа 270 на простые множители в виде столбца, где справа от черты мы пишем на какое простое число мы делим, а слева — что получаем:

Разложение числа на простые множители в столбик.

Разложение числа на простые множители в строчку записывается так: .

Про разложение многочлена на множители поговорим в отдельной теме.

Источник

Простые множители

Просто́е число́ — это натуральное число, которое имеет ровно 2 различных делителя (только 1 и самого себя). Все остальные числа, не равные единице, называются составными. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Изучением свойств простых чисел занимается теория чисел. В теории колец простым числам соответствуют неприводимые элементы.

Последовательность простых чисел начинается с

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, … (последовательность A000040 в OEIS, см. также список простых чисел)

Содержание

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Основная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число, большее единицы (1), представимо в виде произведения простых чисел, причём единственным способом с точностью до порядка следования сомножителей. Таким образом, простые числа — элементарные «строительные блоки» натуральных чисел.

Представление натурального числа в виде произведения простых называется разложением на простые или факторизацией числа. На настоящий момент неизвестны полиномиальные алгоритмы факторизации чисел, хотя и не доказано, что таких алгоритмов не существует (здесь и далее речь идёт о полиномиальной зависимости времени работы алгоритма от логарифма проверяемого числа, то есть от количества его цифр). На предполагаемой вычислительной сложности задачи факторизации базируется криптосистема

Тесты простоты

Решето Эратосфена, решето Сундарама и решето Аткина дают простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты. Например, для проверки на простоту чисел Мерсенна используется тест Люка — Лемера, а для проверки на простоту чисел Ферма — тест Пепина.

Сколько существует простых чисел?

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах» (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор.

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма всех чисел, обратных к простым, расходится.

Наибольшее известное простое

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты: теста Люка — Лемера. Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простого числа из более чем 10 8 десятичных цифр EFF назначила [2] награду в 150000 долларов США.

Некоторые свойства

Открытые вопросы

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе [3] :

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т. д.

Приложения

Большие простые числа (порядка 10 300 ) используются в криптографии с открытым ключом. Простые числа также используются в хеш-таблицах и для генерации псевдослучайных чисел (в частности, в ГПСЧ Вихрь Мерсенна).

Вариации и обобщения

Литература

См. также

Примечания

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Простые множители» в других словарях:

Разложение на множители — Факторизация разложение данного натурального числа на простые множители. В отличие от задачи распознавания простоты числа, факторизация предположительно является сложной задачей. Содержание 1 Алгоритмы факторизации 1.1 Экспоненциальные алгоритмы … Википедия

ЧИСЕЛ ТЕОРИЯ — раздел чистой математики, занимающийся изучением целых чисел 0, ±1, ±2. и соотношений между ними. Иногда теорию чисел называют высшей арифметикой. Отдельные вычисления, производимые над конкретными числами, например, 9 + 16 = 25, не… … Энциклопедия Кольера

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ — раздел теории чисел, основной задачей к рого является изучение свойств целых чисел полей алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел. Все целые числа поля расширения К поля степени п могут быть получены с помощью… … Математическая энциклопедия

ИДЕАЛЬНОЕ ЧИСЛО — элемент полугруппы D дивизоров кольца Ацелых чисел нек рого поля алгебраич. чисел. Полугруппа D коммутативная свободная полугруппа с единицей; ее свободные образующие наз. простыми идеальными числами. В современной терминологии И. ч. наз. целыми… … Математическая энциклопедия

RSA — (аббревиатура от фамилий Rivest, Shamir и Adleman) криптографический алгоритм с открытым ключом, основывающийся на вычислительной сложности задачи факторизации больших целых чисел. Криптосистема RSA стала первой системой, пригодной и для… … Википедия

Алгоритм Полига — Алгоритм Полига Хеллмана (также называемый алгоритм Сильвера Полига Хеллмана) детерминированный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Одной из особенностью алгоритма является то,… … Википедия

Алгоритм Полига-Хеллмана — (также называемый алгоритм Силвера Полига Хеллмана) детерминированный алгоритм дискретного логирифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Для модулей специального вида данный алгоритм является полиномиальным. Содержание 1 История… … Википедия

Алгоритм Полига — Хеллмана — Алгоритм Полига Хеллмана (также называемый алгоритм Силвера Полига Хеллмана) детерминированный алгоритм дискретного логирифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Для модулей специального вида данный алгоритм… … Википедия

Метод квадратичного решета — (Quadratic sieve algorithm, сокр. QS) метод факторизации больших чисел, разработанный Померанцем в 1981 году. Долгое время превосходил другие методы факторизации целых чисел общего вида, не имеющих простых делителей, порядок которых… … Википедия

Постулат Бертрана — У этого термина существуют и другие значения, см. Бертран. Постулат Бертрана, теорема Бертрана Чебышева или теорема Чебышева гласит, что Для любого натурального n ≥ 2 найдётся простое число p в интервале n Википедия

Источник

Математика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Все вещи можно представить в виде чисел.

Рассмотрим привычный всем карандаш. Привычный, обыденный предмет. Большинство людей даже не задумываются, из чего он состоит.

На самом деле, для изготовления карандаша понадобится древесина, грифель, краска. И это самый простейший перечень составляющих. Ведь собственные составляющие имеют краска, грифель, древесина. Поэтому список компонентов, необходимых для изготовления обычного карандаша, можно продолжать очень долго. Точно так происходит и с математическими числами. Каждое число имеет свой состав, в зависимости от состава – название.

А из чего состоят числа? Какие бывают? Как разложить число? На эти и многие другие вопросы ищите ответы в нашем уроке!

Простые и составные числа

На столе лежало 2 яблока, 4 апельсина. Сколько детей, смогут полакомиться, каждым видом фруктов?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно выяснить на какое количество человек можно разделить фрукты, не деля их на части (целыми).

В математике такие числа называют простыми

Получается, четыре мы можем разделить на 1, на само себя и еще на два. Такой вид чисел в арифметике называют составными:

Разложение на простые множители

В математике возникают ситуации, когда для выполнения определенных вычислений нужно знать, какие множители входят в состав того, или иного числа.

Например в состав 6, входит два простых множителя:

А как быть с большими числами, в записи, которых 2 и более знака? Как правильно выполнять и записывать разложение на простые множители?

Что значит «Разложить на простые множители?».

В арифметике для выполнения разложения на простые множители, существует специальный вид записи и алгоритм действий.

Давайте рассмотрим алгоритм действий:

Запись разложения числа на простые множители выполняется столбиком, состоящим из двух колонок. В правой колонке записываем делимое и полученное частное, в левой – пишем подходящие, простые делители. Между собой колонки разделены вертикальной чертой:

Разложим на множители число 20.

Для выполнения данного задания, используем рассмотренный алгоритм.

20 можно разделить на: 1, 2, 4, 5, 10,20.

Мы подобрали шесть делителей, значит, делимое, является составным числом.

Для этого вспоминаем изученные признаки делимости, и проверяем данное число.

Начнем с наименьшего простого числа 2

Делимое 20 оканчивается цифрой 0, значит, оно делится без остатка на 2.

Далее, подбираем делитель к полученному частному. Опять начинаем с наименьшего простого числа 2. Так как запись 10, оканчивается 0, по признаку делимости, число делится на 2 без остатка:

В результате мы получили простое число, которое можно разделить, только на само себя (на 1 деление не выполняем, оно не является простым числом).

Когда в частном получилась единица, то говорят, разложение числа на простые множители окончено.

Давайте запишем данную математическую операцию.

Выполнять запись будем в столбик.

Сначала записываем делимое и проводим вертикальную черту.

Рядом, с правой стороны, пишем первый делитель.

Выполняем деление и записываем частное под делимым.

После, снова подбираем делитель к полученному частному, справа пишем подходящий делитель. Выполняем деление до тех пор, пока в результате не увидим 1.

Выходит, 20 = 2×2×5. Полученное выражение можно записать немного иначе. В записи использовано два одинаковых множителя, повторяющихся два раза. Используя определение степени

Ничего сложного. Главное – запомнить порядок действий!

Рассмотрим еще один пример.

Разложим число 156.

Чтобы выполнить данное задание используем правило разложения числа на простые множители.

Выполняем деление и частное запишем под делимым: 156 : 2 = 78.

Полученное частное (78) оканчивается четной цифрой, следовательно,делится на 2. Рядом записываем делитель, выполняем деление:

Новый результат оканчивается нечетной цифрой, поэтому на два разделить нельзя. Смотрим, подойдет ли в качестве делителя следующее – 3. Вспоминаем признак делимости на 3:

В записи 39 использованы цифры 3,9. Найдем их сумму:

Полученная сумма делится на 3, следовательно, все число делится на 3.

Записываем делитель и выполняем деление 39 : 3 = 13. Частное, пишем в левый столбик:

Частное 13 – простое, делится на 1 и на само себя. Поэтому:

Разложение на простые множители выполнено.

Очень важно запомнить рассмотренные определения и алгоритм, так как умение раскладывать число на простые множители пригодится вам в течение всего учебного процесса!

Минутка истории

Интерес ученых к простым числам проснулся в третьем веке до нашей эры. Первым заинтересовался Евклид, нашел доказательство, что ряд простых чисел бесконечен. К сожалению,перечень известных, пополнялся новыми, очень медленно, пока не появились первые вычислительные машины, самостоятельно подбирающие делители к огромным числовым значениям. В 1952 г. самое большое простое числовое значение, известное науке содержало 157 цифр, уже в 1985 году количество цифр стало 65050. Сегодня, математики продолжают работать над этим вопросом. Результатом проделанной работы стало открытие американскими учеными нового, самого большого простого числового значения, состоящего из 65087 цифр. Научные сотрудники более 12 месяцев проверяли, подходящие под требования числовые значения. Проверено более 350000 чисел, подобрано несколько миллиардов различных делителей.

В декабре 2018, американский разработчик Патрик Ларош, побил мировые рекорды и открыл наибольшее простое число 2 82 589 933 – 1. Количество цифр этого числа равно 24 862 048. За свое открытие Патрик получил премию в размере 2 миллионов долларов.

Источник

Разложение числа на простые множители

Простой множитель — это множитель, который представляет собой простое число.

Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Пример. Представим в виде произведения простых множителей числа 4, 6 и 8:

Правые части полученных равенств называются разложением на простые множители.

Разложение на простые множители — это представление составного числа в виде произведения простых множителей.

Разложить составное число на простые множители — значит представить это число в виде произведения простых множителей.

Простые множители в разложении числа могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записывать более компактно — в виде степени.

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3.

Примечание. Простые множители обычно записывают в порядке их возрастания.

Как разложить число на простые множители

Последовательность действий при разложении числа на простые множители:

Пример. Разложите число 102 на простые множители.

Начинаем поиск наименьшего простого делителя числа 102. Для этого последовательно подбираем самое маленькое простое число из таблицы простых чисел, на которое 102 разделится без остатка. Берём число 2 и пробуем разделить на него 102, получаем:

Число 102 разделилось на 2 без остатка, поэтому 2 — первый найденный простой множитель. Так как делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:

Переходим к следующему шагу. Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 51 составное. Начиная с числа 2, подбираем из таблицы простых чисел наименьший простой делитель числа 51. Число 51 не делится нацело на 2. Переходим к следующему числу из таблицы простых чисел (к числу 3) и пробуем разделить на него 51, получаем:

Число 51 разделилось на 3, поэтому 3 — второй найденный простой множитель. Теперь мы можем и число 51 представить в виде произведения. Этот процесс можно записать так:

102 = 2 · 51 = 2 · 3 · 17.

Проверяем по таблице простых чисел, не является ли полученное частное простым числом. Число 17 простое. Значит наименьшим простым числом, на которое делится 17, будет само это число:

Так как в частном у нас получилась единица, то разложение закончено. Таким образом, разложение числа 102 на простые множители имеет вид:

Ответ: 102 = 2 · 3 · 17.

В арифметике имеется ещё другая форма записи, облегчающая процесс разложения составных чисел. Она состоит в том, что весь процесс разложения записывают столбиком (в две колонки, разделённые вертикальной чертой). Слева от вертикальной черты, сверху вниз, записывают последовательно: данное составное число, затем получающиеся частные, а справа от черты — соответствующие наименьшие простые делители.

Пример. Разложить на простые множители число 120.

Пишем число 120 и справа от него проводим вертикальную черту:

Справа от черты записываем самый маленький простой делитель числа 120:

Выполняем деление и получившееся частное (60) записываем под данным числом:

Подбираем наименьший простой делитель для 60, записываем его справа от вертикальной черты под предыдущим делителем и выполняем деление. Продолжаем процесс до тех пор, пока в частном не получится единица:

В частном у нас получилась единица, значит разложение закончено. После разложения в столбик множители следует выписать в строчку:

Ответ: 120 = 2 3 · 3 · 5.

Составное число разлагается на простые множители единственным образом.

Это значит, что если, например, число 20 разложилось на две двойки и одну пятёрку, то оно и всегда будет так разлагаться независимо от того, начнём ли мы разложение с малых множителей или с больших. Принято начинать разложение с малых множителей, т. е. с двоек, троек и т. д.

Калькулятор разложения на множители

Источник

Разложение чисел на простые множители, способы и примеры разложения.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители. Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

А что же значит разложить число на простые множители?

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Каноническое разложение числа на простые множители

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа.

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа.

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители. Алгоритм разложения числа a таков:

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители. При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Источник

• ← Что означает простуда под носом
• Что означает простые числа в математике →