Что означает вычитание отрицательных чисел

Вычитание отрицательных чисел

Как известно вычитание — это действие, противоположное сложению.

Если « a » и « b » — положительные числа, то вычесть из числа « a » число « b », значит найти такое число « c », которое при сложении « с » числом « b » даёт число « a ».

Определение вычитания сохраняется для всех рациональных чисел. То есть вычитание положительных и отрицательных чисел можно заменить сложением.

Чтобы из одного числа вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число противоположное вычитаемому.

Или по другому можно сказать, что вычитание числа « b » — это тоже самое сложение, но с числом противоположным числу « b ».

Стоит запомнить выражения ниже.

Правила вычитания отрицательных чисел

Как видно из примеров выше вычитание числа « b » — это сложение с числом противоположным числу « b ».

Это правило сохраняется не только при вычитании из бóльшего числа меньшего, но и позволяет из меньшего числа вычесть большее число, то есть всегда можно найти разность двух чисел.

Разность может быть положительным числом, отрицательным числом или числом ноль.

Примеры вычитания отрицательных и положительных чисел.

Удобно запомнить правило знаков, которое позволяет уменьшить количество скобок.

Знак «плюс» не изменяет знака числа, поэтому, если перед скобкой стоит плюс, то знак в скобках не меняется.

Знак «минус» перед скобками меняет знак числа в скобках на противоположный.

Из равенств видно, что если перед и внутри скобок стоят одинаковые знаки, то получаем « + », а если знаки разные, то получаем « − ».

Правило знаков сохраняется и в том случае, если в скобках не одно число, а алгебраическая сумма чисел.

Обратите внимание, если в скобках стоит несколько чисел и перед скобками стоит знак «минус», то должны меняться знаки перед всеми числами в этих скобках.

Чтобы запомнить правило знаков можно составить таблицу определения знаков числа.

Источник

Вычитание отрицательных чисел

Всего получено оценок: 92.

Всего получено оценок: 92.

Вычитание отрицательных чисел сложный в психологическом плане процесс: ведь требуется уменьшать изначально маленькое число, примерно такие же проблемы могут возникать при рассмотрении действий с десятичными и обыкновенными дробями. При этом, никаких сложных нюансов в этом вопросе нет. Чтобы избежать ошибок, рассмотрим вычитание отрицательных чисел во всех подробностях.

Вычитание

Что такое вычитание? Фактически это уменьшение некоторого числа. Причем не всегда уменьшение оканчивается на отметке нуля. То есть, может получиться и отрицательное число, и ноль. Не стоит пугаться этого.

В начальной школе детям прививают мысль о том, что отрицательный результат заведомо неправильный. Это, само собой, миф. Но этот миф въедается в подкорку мозга и затрудняет дальнейшее изучение курса математики 5 и 6 классов. Поэтому от ощущений неправильности при получении отрицательных результатов, нужно избавляться путем решения большого количества примеров с самыми разными результатами.

В математике принято говорить, что вычитание – это процесс переноса числа влево по числовой прямой. Левее может оказаться любое значение: положительное, отрицательное, ноль, целое или дробное. Единственный результат, который получиться не может, это иррациональное число. Причем последнее – при условии вычитания рациональных чисел.

Отрицательные числа

Теперь обратим внимание на отрицательные числа. Отрицательным числом считается любое число меньше нуля. Причем в примерах на вычитание речь, чаще всего, идет о рациональных числах.

Если перед вами вычитание корней, то придется пользоваться приближенными вычислениями. С этим ничего не поделать: крайне редко получается выполнить вычисление в точности.

На практике это иногда необходимо, но при записи единицу просто не пишут. Так и получается знак минус при отрицательном числе.

По этому принципу работает правило знаков, которое гласит:

Кажется, что речь идет только об умножении, но на деле это не совсем так:

-6-(-18)=-6-1*(-1)*18=-6+18=12 – вот так это правило выглядит в развернутой форме применительно к операциям вычитания.

Вычитание отрицательных чисел

В вычитании отрицательных чисел ничего сложного нет: правила те же, что и для вычитания положительных или любых других рациональных чисел. Нужно только правильно пользоваться правилом знаков.

Именно для того, чтобы не допускать ошибок при использовании этого правила на практике, рассмотрим все возможные ситуации вычитания отрицательных чисел.

-5-18=-1*(5+18)=-1*23=-23 – то есть, выносится общий множитель, числа складываются по модулю, а потом знак минуса возвращается. При решении число 1 принято не прописывать для сокращения записи

Вообще-то вычитание – это часть операции, которую называют математической или арифметической суммой.

Что мы узнали?

Мы поговорили об отрицательных числах. Еще раз повторили основные правила вычитания, и в отдельности привели правила вычитания отрицательных чисел. Для того, чтобы не допускать ошибок в дальнейшем, рассмотрели все случаи подобного вычитания.

Источник

Вычитание отрицательных чисел

Сейчас мы рассмотрим на примерах вычитание отрицательных чисел, и вы убедитесь, что это очень легко. Нужно просто помнить правило : два минуса, стоящие рядом, дают плюс.

Пример 1. Вычитание отрицательного числа из положительного числа

56 – (–34) = 56 + 34 = 90

Как видим, чтобы вычесть из положительного числа отрицательное число, нужно просто сложить их модули.

Пример 2. Вычитание отрицательного числа из отрицательного числа

– 60 – (– 25) = – 60 + 25 = – 35

– 15 – (– 30) = – 15 + 30 = 15

Таким образом, при вычитании отрицательного числа из отрицательного мы действуем по правилу сложения чисел с разными знаками, и у нас может получиться как положительное, так и отрицательное число.

Существует единое правило, определяющее вычитание любых чисел: как отрицательных, так и положительных, и звучит оно так:

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. a — b = a + (-b)

Правило знаков

Для того, чтобы избавиться от лишних скобок при вычитании отрицательных чисел, мы можем воспользоваться правилом знаков. Это правило гласит:

Правило знаков действует также, если в скобках стоит несколько чисел. При этом,если перед скобками стоит минус, изменяются знаки у всех чисел:

Источник

Правила вычитания отрицательных чисел

Вычитание отрицательных чисел — что означает

Отрицательное число — это действительное число, которое меньше нуля, имеет при написании знак минус.

Отрицательное число является элементом множества, в которое входят отрицательные числа. Появление этого понятия в математике связано с расширением множества из натуральных чисел. С его помощью удалось причислить операцию по вычитанию к полноценным арифметическим действиям (таким, как сложение).

Если рассматривать операции с натуральными числами, то можно заметить, что допускается вычитание только меньшего числа из большего. При этом переместительный закон на вычитание не распространяется. К примеру, выражение 3 + 4 – 5 является допустимым, а выражение, в котором операнды переставлены, 3 – 5 + 4 недопустимо.

С помощью добавления к множеству натуральных чисел отрицательных чисел и нуля действие вычитания распространилось на любые пары из натуральных чисел. В результате образовалось множество целых чисел. Для рациональных, а также вещественных чисел аналогично получаются соответствующие отрицательные значения. В случае комплексных чисел понятие отрицательного числа не применимо.

Отрицательные числа отмечены на шкале красным цветом:

Важно заметить, что для какого-либо натурального числа n существует единственное отрицательное число –n, с помощью которого n можно дополнить до нуля:

Действие вычитания некого числа а из другого числа b является равносильным операции сложения b с числом, которое противоположно числу а:

На множество отрицательных чисел распространяются почти все алгебраические правила, как и на натуральные числа. Однако существуют некоторые особенности, связанные со свойствами отрицательных чисел:

Основные правила, таблица

Действия с отрицательными числами можно представить в виде таблицы:

Вычитание отрицательных чисел выполняется, согласно правилу: для того чтобы вычесть из числа а число b, имеющее знак минус, нужно сложить уменьшаемое a и число –b, которое противоположно вычитаемому b. Формула:

Данное правило имеет доказательство. Предположим, что существуют некие самостоятельные числа а и b. Для того чтобы из первого числа вычесть второе, требуется определить число с, которое при сложении с числом b даст в сумме число а:

Доказательство сводится к определению справедливости для уравнения:

В процессе доказательства целесообразно обратиться к свойствам операций с действительными числами. Записанное равенство можно считать верным по действию сочетательного свойства сложения:

(a + (− b)) + b = a + ((− b) + b)

Исходя из того, что в сумме числа, обладающие противоположными знаками, дают нуль, получим:

Заметим, что при сложении числа с нулем такое число не изменится:

В результате доказано равенство:

Таким образом, доказано правило вычитания чисел, которые имеют знак минус, то есть являются отрицательными. Данное правило распространяется на любые рациональные и целые числа а и b, так как эти числа характеризуются свойствами, применяемыми в ходе доказательства.

Вычитание отрицательного числа из отрицательного

Вычитание одного отрицательного числа из другого отрицательного числа сводится к нахождению суммы чисел с разными знаками. Известно, что вычитание отрицательного числа равносильно сложению положительного числа с таким же модулем, что и у отрицательного.

Вычитание положительного числа из отрицательного

Последовательность действий при вычитании из отрицательного числа положительного:

Модули, которые получились в результате, следует суммировать:

К конечному результату нужно приписать знак минус:

Вычитание отрицательного числа из положительного

Вычитание отрицательного числа из положительного предполагает сложение модулей этих чисел.

Из примера видно, что вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа, которое является обратным отрицательному.

Примеры задач для 6 класса

Согласно правилу вычитания отрицательных чисел, нужно найти сумму чисел с разными знаками:

В процессе необходимо сложить модули этих чисел и к ответу приписать знак минуса:

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, получим:

Далее нужно суммировать отрицательные значения, руководствуясь правилом сложения отрицательных чисел:

Источник

Урок 35 Бесплатно Вычитание

Мы уже научились складывать числа с разными знаками, а теперь нам предстоит узнать, как происходит нахождение разности между числами с разными знаками и какой дополнительный смысл это несет.

Не забудем и проанализировать, какими могут получится результаты вычитания.

Вычитание из положительного числа

До этого мы всегда вычитали из положительного числа другое положительное число, причем меньшее или равное ему.

Сейчас рассмотрим еще два случая:

Правило: чтобы вычесть из положительного числа другое положительное число, которое больше его, необходимо из вычитаемого вычесть уменьшаемое и к результату приписать знак «минус».

Пример:

Вычтем из 6-ти 8

В данном случае вычитаемое больше уменьшаемого, значит, вычитаем из него уменьшаемое:

И приписываем к результату «минус», получаем:

Как видите, ничего сложного. В жизни такие действия встречаются также достаточно часто.

Например, 19 декабря температура равнялась 4-м градусам выше нуля, но за сутки опустилась на 9 градусов. Чему равняется температура 20-го декабря?

В данном случае нам надо вычесть из 4-х 9.

Вычитаемое больше уменьшаемого, значит, будем действовать по описанному выше алгоритму.

Вычитаем из 9-ти 4, получаем 5.

Теперь приписываем «—», получаем, что \(\mathbf<4-9=-5>\)

Значит, 20-го декабря температура равнялась \(\mathbf<-5>\)-ти градусам.

Пример:

У Василия было на счету 15 тысяч рублей, и он потратил на новый телефон 20 тысяч. Чтобы посчитать, сколько денег у него останется на счету, мы должны вычесть из первого числа второе.

Опять же, вычитаемое больше уменьшаемого, значит, мы должны из вычитаемого вычесть уменьшаемое, а затем приписать «-».

Ответ: -5 тысяч рублей будет у Василия на счету.

Теперь будем вычитать из положительных чисел отрицательные числа.

Правило: чтобы вычесть из положительного числа отрицательное, необходимо сложить их модули.

Пример:

Вычтем из 11-и -3

Складываем их модули и получаем:

Как видите, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа, обратного этому отрицательному.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Вычитание из отрицательного числа

Начнем с вычитания из отрицательного числа положительного числа. Мы делали это ранее с помощью координатной прямой. А сейчас научимся это делать, не используя ее.

Правило: чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, надо

Пример:

Вычтем из \(\mathbf<-3>\) \(\mathbf<4>\)

2) Складываем найденные модули:

3) Приписываем минус, полученное число и будет ответом:

Процесс взятия модуля достаточно несложный, поэтому зачастую решение можно не расписывать по действиям.

Процесс нахождения разности двух отрицательных чисел также не сложен и в целом сводится к сложению чисел с разными знаками.

Поэтому тут могут быть разные подходы:

Вычтем из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\)

Можно применить свойство, указанное выше, и смотреть на это, как на сложение чисел с разными знаками.

В таком случае, как мы помним, нужно взять модули слагаемых, из большего вычесть меньший и к результату приписать знак слагаемого с наибольшим модулем.

В нашем случае модуль больше у \(\mathbf<-5>\), так что \(\mathbf<-5+2=-3>\)

Посмотрим еще на такое свойство:

Если мы хотим прибавить отрицательное число, то достаточно вычесть положительное число с тем же модулем, что и у отрицательного числа.

Выше мы получили сумму отрицательного числа и положительного.

Перейдем к вычитанию из одного положительного числа другого положительного.

Посмотрим на том же примере, снова вычитая из \(\mathbf<-5>\) \(\mathbf<-2>\).

Первое равенство (\(\mathbf<-5-(-2)=-5+2>\)) происходит, так как вычитание отрицательного числа можно превратить в прибавление положительного.

При переходе через второе равенство (\(\mathbf<-5+2=2+(-5)>\)) мы просто меняем местами слагаемые.

В третьем равенстве (\(\mathbf<2+(-5)=2-5>\)) мы пользуемся только что введенным свойством.

Нужно отметить, что теперь мы умеем превращать вычитание в прибавление (вычитание это прибавление числа с противоположным знаком того же модуля). И тогда при желании можно вообще не говорить отдельно про вычитание, сводя его к сложению.

Примеры:

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Аналитика результатов вычисления разности

Рассмотрим геометрический смысл разности: она показывает, как соотносятся точки на координатной прямой.

Пример:

Пусть будет точка А с координатой -2 и точка В с координатой 3

Разность равна \(\mathbf<-2-3=-5>\)

Значит расстояние между точками равно 5-ти (модулю разности).

А знак «минус» говорит о том, что точка А лежит ближе по направлению, чем точка В (в данном случае левее).

1) Если разность координат двух точек больше нуля, значит, первая точка лежит дальше по направлению, чем вторая точка.

2) Если разность координат двух точек равна нулю, то точки совпадают

3) Если разность координат двух точек меньше нуля, значит, первая точка лежит ближе по направлению, чем вторая точка.

Если вернемся к картинке и посчитаем разность между координатами точек В и А, именно в таком порядке, то заметим, что она равна 5-ти, что подтверждает то, что точка В лежит дальше по направлению, чем точка А.

Если же посчитаем разность координат точки В, то есть вычтем из 3-х 3, мы получим 0, что подтверждает то, что это одна точка.

Иногда, еще до того, как мы начнем считать разность двух чисел, нам может захотеться знать знак результата.

Сформулируем общее правило:

1) Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность будет положительной

2) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность будет равна нулю

3) Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность будет отрицательной

Посмотрим на примерах и убедимся, что это действительно так.

Пример, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Случай, когда оба числа больше нуля тривиален. Вы с ним хорошо знакомы, поэтому интересней поговорить про случай, когда оба числа отрицательны.

Например, вычтем из \(\mathbf<-11>\)-ти \(\mathbf<-15>\)

В данном случае уменьшаемое больше вычитаемого (так как они оба отрицательные и модуль уменьшаемого меньше).

Используя правила, получаем:

Получилось положительное число, как мы и ожидали.

Это происходит из-за природы вычитания: разность показывает сколько надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.

В самом деле, если мы прибавим к \(\mathbf<-15>\)-ти 4, то мы получим \(\mathbf<-11>\)

Именно поэтому, если уменьшаемое больше вычитаемого, чтобы из вычитаемого получить уменьшаемое, нужно будет прибавлять положительное число, а значит, и разность будет положительной.

Пример, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Здесь все также вполне тривиально: числа и так не различаются, значит, разность будет равна нулю.

Аналогия с координатной прямой здесь также говорит о том, что разность будет равняться нулю, ведь ненулевого отрезка между точками не будет.

Пример, когда уменьшаемое меньше вычитаемого.

Вычтем из 5-ти 15, получаем -10, число отрицательное, как и должно было получиться.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

В этом и предыдущих уроках мы нередко обращались к аналогии с градусником или ртутным термометром.

Оказывается, этот прибор слабо менялся с начала XVIII века, а первые приборы для измерения температуры появились еще раньше.

А проблемы были. Если использовали воду, то она замерзала и могла разбить трубку. Так ученые пришли к необходимости использовать винный спирт или другие спиртосодержащие жидкости, которые не замерзают при таких незначительных температурах.

В результате экспериментов с конструкциями появилась запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью. Теперь низкая температура не разрушала устройство, а давление не изменяло показатели.

Первую единую шкалу придумал немецкий физик Габриэль Фаренгейт в 1723 году.

Точку нуля он выставил как температуру состава снега и нашатыря или поваренной соли.

Точку в 32 градуса он выставил, как «начинающееся замерзание воды».

Есть в этой шкале и что-то человеческое: 96 градусов по Фаренгейту (96ºF) соответствуют температуре здорового человека.

Эту систему до сих пор используют в США, поэтому не стоит сильно удивляться непривычным цифрам, которые иногда можно услышать в сериалах и фильмах.

Почти привычную нам систему придумал шведский ученый Цельсий в 1742 году.

Позже ее «перевернули» и теперь мы знаем, что лед плавится при 0 градусах Цельсия (ºC), а вода кипит при 100ºC.

Сегодня обычные термометры постепенно отходят в прошлое, уступая свое место приложениям в телефоне, а опасные ртутные градусники заменяют более удобными и безопасными электронными, но в свое время это изобретение позволило сильно продвинуть науку вперед и улучшить жизнь людей.

Заключительный тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Источник