Что означает запись a b где a b натуральные
Отношение делимости и его свойства
Определение. Пусть даны натуральные числа а и b. Говорят, что число а делится на число b, если существует такое натуральное число q, что a = bq.
Из определения отношения делимости и равенства а = 1·а, справедливого для любого натурального а, вытекает, что 1 является делителем любого натурального числа.
Выясним, сколько вообще делителей может быть у натурального числа а. Сначала рассмотрим следующую теорему.
Теорема1. Делитель b данного числа а не превышает этого числа, т.е. если
Из данной теоремы следует, что множество делителей данного числа конечно. Назовем, например, все делители числа 36. образуют конечное множество <1,2,3,4,6,9,12,18,36>.
В зависимости от числа делителей среди натуральных чисел различают простые и составные числа.
Например, число 13- простое, поскольку, у него только два делителя: 1 и 13.
Определение. Составным числом называется такое натуральное число, которое имеет более двух делителей.
Так число 4 составное, у него три делителя: 1,2 и 4.
Число 1 не является ни простым, ни составным числом в связи с тем, что оно имеет только один делитель.
Нам известно, что отношение делимости обладает рядом свойств, в частности, оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Теперь, имея определение отношения делимости, мы можем доказать эти и другие его свойства.
Теорема 2. Отношение делимости рефлексивно, т.е. любое натуральное число делится само на себя.
Доказательство. Для любого натурального а справедливо равенство а = а·1. Так как 1 Є N, то, по определению отношения делимости, а : . а.
то b ⁞͞ a.
Доказательство. Предположим противное, т.е. что b⁞a. Но тогда а ≤ b, согласно теореме, рассмотренной выше.
По условию и а ⁞. b и а ≠ b. Тогда, по той же теореме, b ≤ а.
Неравенства а ≤ b и b ≤ а будут справедливы лишь тогда, когда а = b, что противоречит условию теоремы. Следовательно, наше предположение неверное и теорема доказана.
Теорема 4. Отношение делимости транзитивно, т.е. если а⁞ b и b⁞ с, то а⁞ с.
а⁞ с.
Например, не производя вычислений, можно сказать, что 175 + 360 + 915 делится на 5, так как на 5 делится каждое слагаемое этой суммы.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству признака делимости суммы.
Теорема 7 (признак делимости произведения). Если число а делится на b, то произведениe вида ах, где х Є N, делитcя на b.
Из доказанной теоремы следует, что если один из множителей произведения делится на натуральное число b, то и все произведение делится на b. Например, произведение 24·976·305 делится на 12, так как на 12 делится множитель 24.
Рассмотрим еще три теоремы, связанные с делимостью суммы и произведения, которые часто используются при решении задач на делимость.
Теорема 8. Если в сумме одно слагаемое не делится на число b, а все остальные слагаемые делятся на число b, то вся cумма на число b не делится.
Теорема 9. Если в произведении ab множитель a делится на натуральное число т, а множитель b делится на натуральное число n,то ab делится на mn.
Справедливость этого утверждения вытекает из теоремы о делимости произведения.
1.Объясните, почему число 15 является делителем числа 60 и не является делителем числа 70.
2.Постройте граф отношения «быть делителем данного числа», заданного на множестве Х = <2, 6,. 12, 18, 24>. Как отражены на этом графе свойства данного отношения?
4. Запишите множество делителей числа.
5.На множестве X = <1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11; 12>задано отношение «иметь одно и то же число делителей». Является ли оно отношением эквивалентности?
6.Постройте умозаключение, доказывающее, что:
а) число 19 является простым;
б) число 22 является составным.
7.Докажите или опровергните следующие утверждения:
а) Если сумма двух слагаемых делится на некоторое число, то и каждое слагаемое делится на это число.
б) Если одно из слагаемых суммы не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.
в) Если ни одно слагаемое не делится на некоторое число, то и сумма не делится на это число.
г) Если одно из слагаемых суммы делится на некоторое число, а другое не делится на это число, то и сумма не делится на это число.
Свойства степеней. Действия со степенями
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Натуральные числа
Содержание
Определение натуральных чисел [ править ]
Неформальное определение [ править ]
| Определение: |
| Натура́льные чи́сла (англ. natural numbers, естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления). |
Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при:
Отрицательные и нецелые числа натуральными числами не являются.
Формальное определение [ править ]
Определить множество натуральных чисел позволяют аксиомы Пеано (англ. Peano axioms):
Теоретико-множественное определение [ править ]
Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.
Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:
Числа, заданные таким образом, называются ординальными.
Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:
Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают [math]0, 1, 2, \dots.[/math]
Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивные представления о «натуральном ряде».
Операции над натуральными числами [ править ]
Сложение [ править ]
Умножение [ править ]
Вычитание [ править ]
Деление чисел с остатком [ править ]
Формула деления с остатком: [math]n = m \cdot k + r,[/math] где [math]n\,[/math] — делимое, [math]m\,[/math] — делитель, [math]k\,[/math] — частное, [math]r\,[/math] — остаток, причем [math]0\leqslant r \lt b [/math]
Основная теорема арифметики [ править ]
Лемма Евклида [ править ]
Основная теорема арифметики [ править ]
Существование. Пусть [math]n[/math] — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если [math]n[/math] составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, [math]n[/math] тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
Принцип индукции, существование наименьшего числа в любом множестве натуральных чисел [ править ]
Индукция [ править ]
Формулировка принципа математической индукции:
Верность этого метода доказательства вытекает из так называемой аксиомы индукции, пятой из аксиом Пеано, которые определяют натуральные числа. Рассмотрение аксиом Пеано выходит за рамки этой статьи.
Также существует принцип полной математической индукции. Вот его строгая формулировка:
Существование наименьшего элемента [ править ]
Аксиому индукции можно заменить на аксиому существования минимума, и доказать аксиому индукции как теорему.
| Теорема (О существовании минимума): |