Что означает запись а включает б
ХНУРЭ дистанционное обучение
Новости сайта
Студентам, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.
Шановні студенти ХНУРЕ.
Оголошення для тих, хто досі не має доступ до необхідних, за розкладом, навчальних дисциплін.
Ми не можемо підключати студентів до навчальних дисциплін на вимогу студента.
Ми підключаємо студентів тільки за заявкою викладача.
Тому, будь ласка, зверніться до викладачів тих курсів, доступу до яких у вас немає, щоб вони написали нам лист зі списком студентів, яких потрібно додати на їх дисципліну.
Внимание первокурсников!
Обратите внимание, что хотя логины для почты и системы “ХНУРЭ Дистанционное обучение” одинаковые, но пароли разные!
Новый пароль должен быть не менее 8 символов, в нем должны быть минимум 1 цифра, 1 буква в нижнем регистре и 1 буква в верхнем регистре.
Забыли или потеряли пароль?
Если Вы были зарегистрированы в нашей системе и помните свой логин (он же адрес электронной почты в домене @nure.ua), на который был зарегистрирован ваш аккаунт, воспользуйтесь системой автоматического восстановления пароля:
Восстановить пароль от dl.nure.ua
Восстановить пароль от почты можно в комнате 282 по студенческому билету.
ВНИМАНИЕ! сотрудники ЦТДО не работают со студентами напрямую, а только через ответственных за ДО. Все обращения в очную или при помощи писем на адреса сотрудников – обрабатываться не будут.
02. Включение множеств. Операции над множествами
Определение. Говорят, что множество А Включено в множество В (и пишут АÍВ или ВÊА), если для любого элемента аÎА справедливо аÎВ.
Например, очевидны следующие включения NÍZÍQÍR.
1) для любого множества А справедливо включение АÍА;
2) если АÍВ и ВÍА, то А = В;
3) если АÍВ и ВÍС, то АÍС;
4) для любого множества А справедливо включение ÆÍА.
Замечание. Необходимо различать символ принадлежности Î и символ включения Í. Символ принадлежности не обязан удовлетворять тем же свойствам что и символ включения. Так, например, 1ÎZ, ZÎ
Операция “объединение множеств”. Пусть А и В два множества. Объединением этих множеств называется множество АÈВ, состоящее из тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В:
Операция “разность множеств”. Для множеств А и В разность множеств А-В состоит из тех и только тех элементов х, которые удовлетворяют следующим двум условиям хÎА и хÏВ:
Операция “пересечение множеств”. Для множеств А и В их пересечением АÇВ называется множество таких элементов х, которые принадлежат как А, так и В:
Операция “симметрическая разность множеств”. Для множеств А и В их симметрической разностью называется множество
Наиболее часто нами будут использоваться операции объединения и пересечения. Они могут быть распространены на любое число множеств (так же как и другие операции):
В случае, когда множество индексов I = N, применяется запись вида Èn. Например,
Если Аn = (–1/n, 1/n ), то Ç nАn = <0>.
Если ВÍА, то разность множеств А – В называют еще дополнительным множеством к В или просто дополнением в А и обозначают ВC.
Операции над множествами хорошо иллюстрируются диаграммами Венна
Теорема 1. Для любых множеств A, B, C, D справедливы равенства
5. AÈÆ = A, AÈD = D (при условии A Í D)
5′. AÇÆ = Æ, AÇD = A (при условии AÍD)
Доказательство. Приведем доказательство свойств 3 и 5′ (остальные доказываются просто или аналогично). Начнем со свойства 3. В силу одного из свойств операции включения (свойство 2), достаточно показать, что множество справа включено в множество, стоящее слева, и наоборот. Пусть хÎAÈ(BÇC). Тогда либо хÎA, либо хÎBÇC. Если хÎA, то хÎAÈB и хÎAÈC, т. е. хÎ(AÈB)Ç(AÈC). Если же хÎBÇC, то хÎB и хÎC. Следовательно хÎAÈB и хÎAÈC, т. е. снова хÎ(AÈB)Ç(AÈC). Этим показано включение AÈ(BÇC)Í(AÈB)Ç(AÈC). Наоборот, если хÎ(AÈB)Ç(AÈC), то хÎAÈB и хÎAÈC. Если хÎA, то хÎAÈ(BÇC). Если же хÏA, то обязательно хÎB и хÎC. Следовательно хÎBÇC и хÎAÈ(BÇC), что и доказывает утверждение.
Докажем свойство 5′. Из свойства 4 операции включения имеем ÆÍAÇÆ. Покажем обратное включение. Предположим противное, что AÇÆ не включено в Æ. Тогда существует хÎAÇÆ, т. е. хÎA и хÎÆ, такое, что хÏÆ. Но здесь написаны две противоречивые принадлежности. Это доказывает, что наше исходное предположение не верно и AÇÆÍÆ. Аналогично показывается и вторая часть рассматриваемого свойства.
В случае, когда все рассматриваемые множества заведомо принадлежат одному и тому же множеству U, это множество называют Универсумом.
Операции над множествами, хотя и являются похожими на операции сложения (объединение), вычитания (разность множеств), и умножения (пересечение) над обычными числами, отличны от них по своим свойствам. Так, например, (А-В)ÈВ = А верно не всегда (приведите пример).
Другим существенным отличием являются так называемые законы поглощения: для множеств из универсума U справедливы равенства:
Доказательства этих равенств несложные и опираются на теорему 1. Так первое из них получается из следующих равенств:
АÈ(АÇВ) = (АÇU)È(AÇB) = AÇ(UÈB) = AÇU = A.
Для множеств из универсума U справедливы следующие два закона де Моргана.
Теорема 2. Справедливы равенства:
(АÈВ)С = АС Ç ВС и (АÇВ)С = АС È ВС.
Доказательство. Докажем первое из этих равенств. Пусть аÎ(АÈВ)С. Тогда аÏАÈВ, т. е. аÏА и аÏВ. Последнее означает, что аÎАС и аÎВС, а значит и аÎАС Ç ВС. Цепочку этих рассуждений легко теперь провести в обратном порядке.
Второе равенство доказывается по аналогии.
На законах де Моргана основан Принцип двойственности, играющий важную роль в теории множеств и ее приложениях. Принцип двойственности состоит в следующем: если в некотором равенстве, связывающем подмножества данного универсума, заменить операцию Ç на È, а Ç на È, множество U на Æ, множество Æ на U, то получим верное равенство. Новое равенство называется двойственным по отношению к заданному.
Примеры. 1) АÈÆ=А Þ (АÈÆ)С = АС Þ АСÇÆС = АС Þ АС ÇU = АС. Последнее равенство в силу произвольности А (а следовательно и АС ) можно переписать ВÇU = В для любого множества В из U.
2) (Задача Льюиса Керролла) В одном жестоком бою из 100 пиратов 70 потеряли ногу, 75 – руку, 80 – глаз, 85 – ухо. Доказать, что как минимум 10 человек потеряли и руку, и ногу, и глаз, и ухо.
Решение. Обозначим через А – множество пиратов, потерявших ногу, В – потерявших руку, С – глаз, Е – ухо. Тогда нам необходимо найти М=АÇВÇСÇЕ (точнее, показать, что там не менее 10 элементов). Рассмотрим МС = АС ÈВС ÈСС ÈЕС. По условиям задачи в множестве АС – 30 элементов, в множестве ВС – 25 элементов, СС – 20, ЕС – 15 элементов. Таким образом, в множестве МС не более, чем 30 + 25 + 20 + 15 = 90 элементов. Следовательно, в самом множестве М не менее, чем 10 элементов.
1. Доказать следующие утверждения:
А) из АÍВ вытекает, что АÇВ = А и АÈВ = В;
Б) из АÇВ = А вытекает, что АÍВ;
В) из АÈВ = В вытекает, что АÍВ.
3. Доказать включения:
4. Доказать: АDВ = (АÈВ) – (АÇВ).
5. Верны ли утверждения для любых множеств А, В, С: 1) если АÍВ и ВÎС, то АÎС; 2) если А ¹ В и В ¹ С, то А ¹ С?
6. При каких условиях на А и В выполняется равенство (А – В)ÈВ = А.
7. Пусть U=
8. Пусть АÇВ = Æ. Что можно сказать про множества А – В и В – А.
9. Пусть АÇВС = Æ. Что можно сказать про множества АÇВ и АÈВ.
10. Доказать равенства:
А) (А – В) – С = (А – С) – (В – С);
Б) (А – В)È(В – С)È(С – А)È(АÇВÇС) = АÈВÈС;
В) А – В = А – (АÇВ) = (АÈВ) – В;
Д) А – (ВÈС) = (А – В)Ç(А – С);
Е) А – (ВÇС) = (А – В)È(А – С);
Ж) (АÈВ) – С = (А – С)È(В – С).
11. Вытекает ли из А – В = С, что А = ВÈС?
12. Вытекает ли из А = ВÈС, что А – В = С?
13. Пусть А – заданное множество, про другое множество Х известно, что АDХ = А. Доказать, что Х = Æ.
14. Доказать равенства:
15.Доказать следующие тождества:
А) (АÇВ)È(СÇD) = (АÈС)Ç(ВÈС)Ç(АÈD)Ç(ВÈD);
В) А – (В – С) = (А – В)È(АÇС);
Г) АÇ(В – С) = (АÇВ) – (АÇС) = (АÇВ) – С;
А) (АÈВ)ÇС = АÈ(ВÇС) Û АÍС;
В) АÇВ = АÈ В Û А = В;
Г) (АÈВ) – В = А Û АÇВ = Æ;
Е) (АÇВ)ÈС = АÇ(ВÈС) Û СÍА;
Л) А = ВС Û АÇВ=Æ и АÈВ = U.
18. Пусть A Í U, B Í U. Доказать:
Б) ADB = (A Ç BC) È (AC Ç B).
19. Решить систему уравнений
А) 
Где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
Б) 
В) 
Где А, В, С – данные множества и В Í А Í С.
20. Определить операции È, Ç, \ через:
21. Доказать, что для любых множеств E, F, G, H справедливы
Информатика online
Теория и практика решения олимпиадных задач и задач ЕГЭ по информатике. Теория информатики от 5 до 11 класса.
четверг, 24 ноября 2011 г.
Отношения между множествами и операции над ними
Отношения между множествами
Говорят, что множество А строго включено в множество B, если А включено в B и не равно ему:
A ⊂ B
В этом случае множество B строго включает в себя множество А; А является собственным множеством множества В.
Собственное множество — множество, которое является частью другого и не равно ему. В обоих случаях принято называть множество А подмножеством множества В; в свою очередь, множество В будет надмножеством множества А.
Говорят, что множества не пересекаются, если у них нет общих элементов.
Операции над множествами
Если имеется два множества или более, то с ними можно выполнить ряд операций. К таким операциям относятся:
— пересечение,
— объединение,
— дополнение,
— разность,
— симметрическая разность.
Все перечисленные операции, кроме дополнения, являются бинарными, т. е. выполняющимися с двумя множествами. Дополнение — унарная операция (выполняемая с одним множеством), которая, однако, может быть осуществлена лишь с учётом всех других множеств, предоставленных по условию задачи: дополнение всегда осуществляется до конкретного множества.
При этом пересечение, объединение и дополнение являются базовыми операциями, через которые могут быть выражены остальные.
Пересечение множеств (обозначается X ∩ Y ) — множество, включающее в себя элементы, которые одновременно входят в состав каждого из исходных множеств.
Можно сказать, что пересечение содержит элементы, общие для обоих множеств.
Операция пересечения коммутативна и ассоциативна:
1. X ∩ Y = Y ∩ X;
2. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;
Очевидно, что мощность пересечения не превосходит наименьшую мощность пересекающихся множеств:
| X ∩ Y| ≤ min (|X|,|Y|)
Объединение множеств (обозначается X ∪ Y ) — множество, включающее в себя все элементы, входящие в состав хотя бы одного из исходных множеств.
Операция объединения также коммутативна и ассоциативна.
Объединением множеств является множество, включающее в себя каждое из объединяемых множеств
Дополнение множества (обозначается ∁ Y или Ẏ ) — другое множество, включающее в себя все элементы, не входящие в состав исходного.
Несмотря на то, что операция дополнения является унарной, наличие другого множества учитывается.
Понятно, что исходное множество Y должно являться частью другого ( X ), на котором можно выбирать не принадлежащие Y элементы. Если множества Y и X совпадают, то дополнением Y является пустое множество.
Из математической записи дополнения напрямую не следует, до какого именно множества дополняется указанное. Cчитается, что дополнение всегда выполняется до универсума.
Множества
Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.
Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:
N — множество натуральных чисел,
Z — множество целых чисел.
Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.
Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись
означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.
Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.
Подмножество
Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.
Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.
Рассмотрим два множества:
Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :
Рассмотрим два множества:
Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.
Пересечение и объединение множеств
Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.
При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:
Обозначение, запись и изображение числовых множеств
Из большого количества разнообразных множеств особо интересными и важными являются числовые множества, т.е. те множества, элементами которых служат числа. Очевидно, что для работы с числовыми множествами необходимо иметь навык записи их, а также изображения их на координатной прямой.
Запись числовых множеств
N – множество всех натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; J – множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел; C – множество комплексных чисел.
Напомним также следующие обозначения:
Рассмотрим теперь схему описания числовых множеств на примере основных стандартных случаев, наиболее часто используемых на практике.
Таким же образом, объединяя различные числовые промежутки и множества отдельных чисел, возможно дать описание любому числовому множеству, состоящему из действительных чисел. На основе сказанного становится понятно, для чего вводятся различные виды числовых промежутков, такие как интервал, полуинтервал, отрезок, открытый числовой луч и числовой луч. Все эти виды промежутков совместно с обозначениями множеств отдельных чисел дают возможность через их объединение описать любое числовое множество.
Изображение числовых множеств на координатной прямой
В практических примерах удобно использовать геометрическое толкование числовых множеств – их изображение на координатной прямой. К примеру, такой способ поможет при решении неравенств, в которых нужно учесть ОДЗ – когда нужно отобразить числовые множества, чтобы определить их объединение и/или пересечение.
Зачастую и не указывают начало отсчета и единичный отрезок:
В большинстве случаев возможно не соблюдать абсолютную точность чертежа: вполне достаточно схематичного изображения без соблюдения масштаба, но с сохранением взаимного расположения точек относительно друг друга, т.е. любая точка с бОльшей координатой должна быть правее точки с меньшей. С учётом сказанного уже имеющийся чертеж может выглядеть так:
Отдельно из возможных числовых множеств выделяют числовые промежутки интервалы, полуинтервалы, лучи и пр.)
Информация, приведенная в данной статье, призвана помочь получить навык видеть запись и изображение числовых множеств так же легко, как и отдельных числовых промежутков. В идеале записанное числовое множество сразу должно представляться в виде геометрического образа на координатной прямой. И наоборот: по изображению должно с легкостью формироваться соответствующее числовое множество через объединение числовых промежутков и множеств, являющихся отдельными числами.