Что показывает частный коэффициент корреляции тесноту связи между

Частная корреляция

Ранжирование факторов в множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии. Эту цель можно достигнуть с помощью частных коэффициентов корреляции для линейных связей. При нелинейной связи исследуемых признаков эту функцию выполняют частные индексы детерминации. Помимо этого, частные коэффициенты корреляции широко используют при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения фактора в модель может определяться величиной частных коэффициентов корреляции.

Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и фактором при устранении влияния другого фактора (или факторов), которые включенны в уравнение регрессии.

Показатели частной корреляции определяются как отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в регрессионную модель.

Частные коэффициенты на основе стандартизованных коэффициентов регрессии (бета-коэффициентов) дают меру тесноты связи каждого фактора с показателем (результатом) в чистом виде. Если из стандартизованного уравнения регрессии следует, что бета 1 > бета 2 > бета 3, т.е. по силе влияния факторов на результат их порядок таков: х1, х2, х3, такой же порядок факторов определяется и по соотношению частных коэффициентов корреляции.

Для уравнения регрессии в стандартизованном виде, коэффициенты могут быть определены по формулам, исходя из решения системы нормальных уравнений:

Расчет частных коэффициентов корреляции, решая задачи по эконометрике, обычно проводят по формулам

Т.е. в двухфакторном анализе частные коэффициенты корреляции — это стандартизованные коэффициенты регрессии, которые умноженны на квадратный корень из соотношения долей остаточных дисперсий фиксируемого фактора на фактор и на результат. В эконометрике коэффициенты частной корреляции в основном не имеют самостоятельного значения. Их, как правило, используют на стадии формирования модели, зачастую в процедуре отсева факторов.

Источник: Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.

Источник

Частная корреляция. Коэффициенты частной корреляции.

Частные коэффициенты (или индексы) корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов, включенных в модель.

Частные показатели корреляции широко используются при отборе факторов, когда необходимо оценить целесообразность включения того или иного фактора в уравнение множественной регрессии. Кроме того, они позволяют ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом.

Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.

В общем виде частный коэффициент корреляции, измеряющий влияние на у фактора х_iпри неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:

,

где — коэффициент множественной детерминации для модели с полным набором факторов;

— тот же показатель, но без введения в модель фактора xi.

При i=1 формула примет вид:

Коэффициенты частной корреляции могут быть первого, второго, третьего и т.д. порядка. Это зависит от того, влияние скольких факторов элиминируется.

Частная корреляция первого порядка – когда фиксируется теснота связи двух переменных при устранении влияния одного фактора: (точка отделяет фактор, значение которого элиминируется (закрепляется на неизменном уровне)).

Частная корреляция второго и т.д. порядка – когда фиксируется теснота связи двух переменных при устранении влияния двух и более факторов, например:

— частная корреляция второго порядка при постоянном действии факторов х2 и х3;

— частная корреляция четвертого порядка при постоянном действии факторов х2, х3, х4, х5.

Соответственно, коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка.

Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно найти через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле:

При i=1 и двух факторах формула примет вид:

При i=2 и двух факторах:

Сравнение частных коэффициентов друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Обычно частные коэффициенты корреляции не имеют самостоятельного значения, они используются на стадии формирования модели, в частности в процедуре отсева факторов.

Контрольные вопросы:

1. В каких ситуациях применяется множественная регрессия?

2. Какие этапы включает в себя построение уравнения множественной регрессии?

3. Какие виды уравнений множественной регрессии различают?

4. Что означает построение модели множественной регрессии в стандартизированном масштабе?

5. Что показывают стандартизированные коэффициенты регрессии?

6. По какой формуле рассчитывается показатель множественной регрессии?

7. Что характеризуют частные коэффициенты корреляции?

Источник

Показатели тесноты корреляционной связи для многофакторной корреляционно-регрессионной модели

Теснота связи между изучаемыми показателями при множественной корреляции определяется на основе различных коэффициентов. Чтобы уравнение регрессии достаточно адекватно отражало (аппроксимировало) реальные моделируемые социально-экономические процессы или явления должны быть соблюдены условия и требования множественного корреляционно-регрессионного анализа.

Теснота связи между них измеряется отношением факторной дисперсии к общей дисперсии результативного признака, называемым индексом детерминации. Индекс детерминации характеризует долю вариации результативного признака под влиянием факторного признака в общей колеблемости результативного признака. Если между признаками имеется корреляционная связь, то по мере ее усиления, т.е. повышения тесноты связи между результативным и факторным признаками, индекс детерминации увеличивается, а по мере ослабления – уменьшается. Таким образом, индекс детерминации характеризует тесноту связи, близость корреляционной связи к функциональной.

Корень квадратный из индекса детерминации есть индекс корреляции или теоретическое корреляционное отношение. Индекс корреляции, или теоретическое корреляционное отношение, характеризует тесноту связи при любой форме зависимости. Остаточная дисперсия необходима для выбора наилучшей функции, которая в наибольшей степени выравнивает (аппроксимирует) эмпирическую линию регрессии. Аппроксимирующую функцию выбирают по минимуму остаточной дисперсии s 2 _ост = S(y_t–) 2 /nили .

При линейной форме связи параметр уравнения прямой – коэффициент регрессии а₁ и коэффициент корреляции r взаимосвязаны следующим образом:

а₁ = rs_y/s_x. При прямолинейной связи линейный коэффициент корреляции тождествен индексу корреляции, они численно равны: .

Линейный коэффициент корреляции r применяется для оценки тесноты связи при линейной зависимости: уравнения прямой = а₀+а₁х

Для упрощения расчетов линейного коэффициента корреляции пользуются преобразованной формулой: .

Характер связи определятся величиной коэффициента корреляции:

r	величина коэффициента корреляции	характер связи
r = 0	до 0,3	практически отсутствует
0 tкрит.

при n при n

Выбор формы уравнения множественной регрессии основывается на теоретическом анализе изучаемого явления. Если анализ взаимосвязей результативного и факторных признаков не позволяет остановиться на какой-либо форме связи, то перебирают различные функции и выбирают оптимальную с точки зрения близости эмпирических значений результативного признака выравненным, но это сопряжено со значительной трудоемкостью расчетов параметров различных уравнений. При наличии специального программного обеспечения, реализующего алгоритм перебора различных уравнений множественной регрессии на ПЭВМ, получают несколько моделей, выбор наилучшей осуществляется путем статистической проверки параметров уравнения на основе t–критерия Стьюдента и F–критерия Фишера.

Выбор формы уравнения множественной регрессии осуществляется на практике

на основе использования пяти типов моделей:

степенная ;

показательная ;

параболическая

гиперболическая

Чаще всего останавливаются на линейных моделях. Это объясняется тем, что, во-первых, параметры линейных уравнений легко интерпретируются, сами модели просты и удобны для экономического анализа, во-вторых, при желании любую функцию путем логарифмирования или замены переменных можно свести к линейной форме.

Параметры уравнения множественной регрессии, как и парной, рассчитываются методом наименьших квадратов на основе решения системы нормальных уравнений. Поскольку коэффициенты регрессии между собой несопоставимы (факторы имеют разные единицы измерения), то нельзя сравнивать силу влияния каждого из включенных в модель факторов на результативный признак на основании коэффициентов регрессии. Для оценки сравнительной силы влияния факторов рассчитывают частные коэффициенты эластичности и b-коэф­фициенты.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результативный показатель при изменении фактора на 1% и фиксированном положении других факторов и рассчитываются отдельно по каждому фактору:

, где а_i – коэффициент регрессии при i-м факторе; – среднее значение i-го фактора; – среднее значение результативного показателя.

b-коэф­фициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменяется результативный признак при изменении соответствующего фактора на величину его среднего квадратического отклонения , где s_xi, s_y – средние квадратические отклонения i-го фактора и результативного признака.

Вследствие того, что экономические явления подвергаются воздействию многочисленных и сложных причин, в уравнение множественной регрессии должны включаться существенные, систематически действующие факторы при элиминировании влияния остальных факторов. Наиболее важные факторы отбираются на основе анализа тесноты и существенности связи между факторами и результативным показателем. При этом условием включения в модель факторов является отсутствие между ними очень тесной корреляционной связи, близкой к функциональной. Наличие между двумя факторами весьма тесной линейной связи (линейный коэффициент корреляции r превышает по абсолютной величине 0,85) называется коллинеарностью, а между несколькими факторами – мультиколлинеарностью.

Причины возникновения мультиколлинеарности между признаками состоят, во-первых, в том, что анализируемые признаки характеризуют одну и ту же сторону явления или процесса (например, уставной фонд и численность работников характеризуют размер предприятия) и включать их в модель одновременно не целесообразно; во-вторых, факторные признаки являются составными элементами друг друга, дублируют друг друга или их суммарное значение дает постоянную величину (например, энерговооруженность и фондовооруженность, удельный вес заемных и собственных средств). Если в модель включены мультиколлинеарные факторы, то уравнение регрессии будет неадекватно отражать реальные экономические взаимосвязи, будут искажены величины параметров модели (завышены), изменен смысл и затруднена экономическая интерпретация коэффициентов регрессии и корреляции.

Поэтому при построении модели исключают один из коллинеарных факторов исходя из качественного и логического анализа или преобразуют исходные факторные признаки в новые, укрупненные. Качество и адекватность модели реальному социально-экономическому явлению и процессу определяется оптимальностью числа факторных признаков: чем больше включается факторов, тем модель лучше описывает явление и процесс, но такую модель трудно реализовать; при малом числе факторов модель недостаточно адекватна.

Проблема отбора факторных признаков и сокращения размерности модели множественной корреляции решается на основе эвристических и многомерных методов анализа. К эвристическим методам анализа относится метод экспертных оценок, основанный на интуитивно-логических предпосылках и содержательно-качественном анализе непараметрических показателей тесноты связи: коэффициентов корреляции рангов, конкордации. Наиболее часто используется метод пошаговой регрессии, состоящий в последовательном включении факторов в модель и оценке их значимости.

При введении фактора определяется, насколько уменьшается сумма квадратов остатков и увеличивается величина множественного коэффициента корреляции R. Если при включении в модель фактора x_k величина R увеличивается, а коэффициент регрессии a_k не изменяется или меняется незначительно, то данный фактор существенен и его включение в модель необходимо.

· совокупность исследуемых показателей должна быть однородной по условиям формирования результативного и факторных признаков (выделяющиеся наблюдения следует исключить из совокупности);

· результативный признак должен подчиняться нормальному закону распределения, факторные – быть близки к нормальному распределению. Если объем совокупности достаточно большой (n>50), то нормальность распределения может быть подтверждена на основе расчета и анализа критериев Пирсона, Ястремского, Колмогорова, Боярского и др.;

· моделируемое явление или процесс описывается количественно (параметры должны иметь цифровое выражение) одним или несколькими уравнениями причинно-следственных связей. Причинно-следственные связи целесообразно описывать линейными или близкими к линейной форме зависимостями;

· постоянство территориальной и временной структуры изучаемой совокупности, отсутствие количественных ограничений на параметры модели;

· достаточность единиц совокупности: их количество должно быть в несколько раз больше, чем число факторов, включаемых в модель. На каждый фактор должно приходиться, как минимум, 5–6 наблюдений, т.е. число факторных признаков должно быть в 5–6 раз меньше объема изучаемой совокупности.

Основными этапами корреляционно-регрессионного анализа являются:

· предварительный теоретический анализ сущности явления, позволяющий установить причинно-следственные связи между признаками, выбрать наиболее важные факторы, решить вопрос об измерении результативного и факторных признаков;

· подготовка исходной информации, включающая вопросы достаточности единиц наблюдения, однородности совокупности изучаемых признаков и близости их распределения к нормальному;

· выбор формы связи между результативным признаком и факторами на основе перебора нескольких аналитических функций;

· исследование тесноты связи между результативным признаком и факторами, а также между факторами на основе построения матрицы парных линейных коэффициентов корреляции и отсев мультиколлинеарных факторов;

· отбор существенных (значимых) факторов, включаемых в многофакторную модель – уравнение множественной регрессии, на основе соответствующих статистических методов;

· расчет параметров уравнения множественной регрессии и оценка значимости отобранных факторов, коэффициентов корреляции и регрессии с помощью критериев t – Стьюдента и F – Фишера;

· анализ полученных результатов.

Взаимосвязи между признаками анализируются, как правило, на материале выборочных наблюдений, поэтому для проверки того, что полученные зависимости носят закономерный, а не случайный характер, оценивается значимость (существенность) показателей корреляции и регрессии.

Уравнение множественной регрессии позволяет найти теоретическое, возможное значение результативного показателя при определенных значениях факторных признаков.

Параметры уравнения множественной регрессии рассчитываются методом наименьших квадратов на основе решения системы нормальных уравнений. Для линейного уравнения регрессии с n факторами строится система из (n+1) нормальных уравнений:

a₀n + a₁Sx₁ + a₂Sx₂ +. + a_nSx_n = Sy,

Теснота связи между изучаемыми показателями при множественной корреляции определяется на основе различных коэффициентов.

Парные коэффициенты корреляции r измеряют тесноту линейной связи между факторами и между результативным признаком и каждым из рассматриваемых факторов без учета их взаимодействия с другими факторами

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень влияния факторов на результативный признак при условии, что остальные факторы закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества факторов, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть первого порядка (при исключении влияния одного фактора), второго порядка (при исключении влияния двух факторов) и т.д.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между y и х₁ при исключении влияния х₂ в двухфакторной модели рассчитывается по формуле: ,

где r_yx1, r_yx2, r_x1x2– парные коэффициенты корреляции между соответствующими признаками.

Совокупный коэффициент множественной корреляции R оценивает тесноту связи между результативным признаком и всеми факторами. Это основной показатель линейной множественной корреляции. Для двухфакторной модели совокупный коэффициент множественной корреляции рассчитывается по формуле:

. Совокупный коэффициент корреляции R изменяется от 0 до 1. Чем меньше эмпирические значения результативного признака отличаются от выравненных по линии множественной регрессии, тем корреляционная связь между исследуемыми показателями теснее и совокупный коэффициент множественной корреляции ближе к единице.

Совокупный индекс множественной корреляции характеризует тесноту связи между результативным признаком и всеми факторами при криволинейной зависимости:

=, где – дисперсия результативного признака под влиянием факторов, включенных в модель; – остаточная дисперсия результативного признака, вызванная влиянием не учтенных моделью факторов. При линейной форме связи совокупный коэффициент и индекс множественной корреляции равны между собой.

Значимость коэффициента множественной корреляции R определяется по F – критерию Фишера. Определяется расчетное значение F_расч, которое сравнивается с табличным значением F_крит. Коэффициент множественной корреляции считается значимым при соблюдении соотношения: F_расч > F_крит.

или ,

F_крит выбирается по таблице «Значение при заданном F – критерию Фишера при уровне значимости », и .

Оценка существенности включения фактора в модель осуществляется по частному F – критерию Фишера. Фактор считается значимым при соблюдении соотношения: F_расч > F_крит.

Для фактора х₁ : ;

Для фактора х₂ : .

Источник