Что показывает нормальное распределение

Нормальный закон распределения вероятностей

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Более того, даже дискретные распределения бывают близкИ к нормальному, и в конце урока мы раскроем важный секрет «нормальности». Но прежде, математика, математика, математика, которая в древности не зря считалась философией!

Непрерывная случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(не пугаемся) и однозначно определяется параметрами Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Данная функция получила фамилию некоронованного короля математики, и я не могу удержаться, чтобы не запостить:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Одну из таких купюр мне довелось лично держать в руках, и ещё будучи школьником я внимательно изучил функцию Гаусса. Педантичные немцы отобразили все её особенности (на картинке видно плохо), и мы с толком, с расстановкой приступаем к их немцев изучению.

Начнём с того, что для функции Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениевыполнены свойства плотности вероятностей , а именно Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(почему?) и Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, откуда следует, что нормально распределённая случайная величина достоверно примет одно из действительных значений. Теоретически – какое угодно, практически – узнаем позже.

Любопытно отметить, что сам по себе неопределённый интеграл Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеявляется неберущимся, однако указанный выше несобственный интеграл сходится и равен Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Вычисления для простейшего случая Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеможно найти здесь, все же остальные варианты сводятся к нему с помощью линейной замены Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Следующие замечательные факты я тоже приведу без доказательства:

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– то есть, математическое ожидание нормально распределённой случайной величины в точности равно «а», а среднее квадратическое отклонение в точности равно «сигме»: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Эти значения выводятся с помощью общих формул математического ожидания и дисперсии, и желающие / нуждающиеся могут ознакомиться с подробными выкладками в учебной литературе, и совсем здОрово, если вам удастся провести их самостоятельно.

Ну а мы переходим к насущным практическим вопросам. Практики сегодня будет много, и она будет интересна не только «чайникам», но и более подготовленным читателям:

Нормально распределённая случайная величина задана параметрами Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Записать её функцию плотности и построить график.

Несмотря на кажущуюся простоту задания, в нём существует немало тонкостей.

Первый момент касается обозначений. Они стандартные, и никаких вольностей: математическое ожидание обозначают буквой Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(реже Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеили Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(«мю»)), а стандартное отклонение – буквой Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Кстати, обратите внимание на формулировку: в условии ничего не сказано о сущности параметров «а» и «сигма», и несведущий человек может только догадываться, что это такое.

Решение начнём шаблонной фразой: функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. В данном случае Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Первая, более лёгкая часть задачи выполнена. Теперь график. Вот на нём-то, на моей памяти, студентов «заворачивали» десятки раз, причём, многих неоднократно. По той причине, что график Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеобладает несколькими принципиальными особенностями, которые нужно обязательно отобразить на чертеже.

Сначала полная картина, затем комментарии:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Строим декартову систему координат. При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:

по оси абсцисс: 2 тетрадные клетки = 1 ед.;

по оси ординат: 2 тетрадные клетки = 0,1 ед., при этом саму ось следует расположить из тех соображений, что в точке Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениефункция достигает максимума, и вертикальная прямая Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(на чертеже отсутствует) является линией симметрии графика.

И логично, что в первую очередь удобно найти максимум функции. В данном примере он находится в точке Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Отмечаем вершину графика (красная точка).

Далее вычислим значения функции при Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, а точнее только одно из них – в силу симметрии графика они равны:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Отмечаем синим цветом.

Внимание! Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– это точки перегиба нормальной кривой. На интервале Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеграфик является выпуклым, а на крайних интервалах – вогнутым.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи рассчитываем высоту:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота, и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно. Так, например, при Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениефункция принимает вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная; её функция плотности Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениечётная, и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а»), график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеон становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеграфик становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении «сигмы» в два раза: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепредыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков.

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным, а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным. Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей. Вспоминаем её определение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеставится в соответствие несобственный интеграл Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, который равен некоторому числу из интервала Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Почти все значения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениене поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениестандартного распределения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениесоответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

Раз, два – и готово:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения, и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что нормальная случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение из интервала Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
но каждый раз вымучивать приближенное значение Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениенеразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

! Вспоминаем также, что Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Примечание: функцию Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениелегко получить из общего случая Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение с помощью линейной замены Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Тогда Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
и из проведённой замены как раз следует формула Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеперехода от значений Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепроизвольного распределения – к соответствующим значениям Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениестандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениескрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

В силу очевидной нечётности функции Лапласа (Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение), в таблице представлены её значения только для положительных «икс», и по причине симметрии нормального распределения этого оказывается достаточно. Итак, вероятность того, что нормальная случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениес параметрами Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение примет значение из интервала Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, можно вычислить по формуле:

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, где Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– функция Лапласа.

Таким образом, наша задача становится чуть ли не устной! Порой, здесь хмыкают и говорят, что метод устарел. Может быть…, но парадокс состоит в том, что «устаревший метод» очень быстро приводит к результату! И ещё в этом заключена большая мудрость – если вдруг пропадёт электричество или восстанут машины, то у человечества останется возможность заглянуть в бумажные таблицы и спасти мир =)

Из пункта Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеведётся стрельба из орудия вдоль прямой Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Предполагается, что дальность полёта распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и средним квадратическим отклонением 5 м. Определить (в процентах) сколько снарядов упадёт с перелётом от 5 до 70м.

Решение: в задаче рассматривается нормально распределённая случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– дальность полёта снаряда, и по условию Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Если в нашем распоряжении есть таблица значений функции Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, то используем формулу Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Для самопроверки можно задействовать экселевскую функцию =НОРМСТРАСП(z) или напрямую «забить» Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи затем Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениев Пункт 9 расчётного макета.

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, то решаем через неё:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета.

Напоминаю, что Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, и во избежание путаницы всегда контролируйте, таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениесимметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля:

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что значение случайной величины Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеотклонится от математического ожидания менее чем на Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение из промежутка Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениесоставляет:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеили 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез.

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию, Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи по формуле Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении. Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте), а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениемм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепопадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Нормально распределенная случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениезадана своими параметрами Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(математическое ожидание) и Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение из интервала Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение;
в) найти вероятность того, что Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеотклонится по модулю от Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениене более чем на Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц 😉

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Плотность распределения вероятностей случайной величины Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеимеет вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Найти Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, математическое ожидание Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, дисперсию Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, функцию распределения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, построить графики плотности и функции распределения, найти Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Решение: прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение. И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеопределена при любом действительном значении Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, и её можно привести к виду Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, то случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениераспределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– по правилу действий со степенями «отщипываем» Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Теперь найдём значение параметра Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Поскольку множитель нормального распределения имеет вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, то:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, откуда выражаем Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи подставляем в нашу функцию:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

Построим график плотности:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
и график функции распределения Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениефункция распределения принимает значение Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи здесь находится перегиб графика (малиновая точка) Кроме того, для более или менее приличного чертежа желательно найти ещё хотя бы пару точек. Берём традиционное значение Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи стандартизируем его по формуле Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Далее с помощью таблицы значений функции Лапласа находим: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– жёлтая точка на чертеже. С симметричной оранжевой точкой никаких проблем: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

После чего аккуратно проводим интегральную кривую, не забывая о перегибе и двух горизонтальных асимптотах.

Да, и ещё нужно вычислить:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение из данного отрезка.

Ответ: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Но этим, конечно, всё дело не ограничивается! Дополнительные примеры, причём довольно творческие, можно найти в тематической pdf-книжке.

И в заключение урока обещанный секрет:

понятие о центральной предельной теореме

которую также называют теоремой Ляпунова. Её суть состоит в том, что если случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеявляется суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеимеет распределение, близкое к нормальному.

В окружающем мире условие теоремы Ляпунова выполняется очень часто, и поэтому нормальное распределение (близкое к нему) и встречается буквально на каждом шагу.

Так, например, молекул воздуха очень и очень много, и каждая из них своим движением оказывает ничтожно малое влияние на всю совокупность. Поэтому скорость молекул воздуха распределена нормально.

Большая популяция некоторых особей. Каждая из них (или подавляющее большинство) оказывает несущественное влияние на жизнь всей популяции, следовательно, длина их лапок тоже распределена по нормальному закону.

Теперь вернёмся к знакомой задаче, где проводится Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениенезависимых испытаний, в каждом из которых некое событие Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеможет появиться с постоянной вероятностью Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. Эти испытания можно считать попарно независимым случайными величинами Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, и при достаточно большом значении «эн» биномиальное распределение случайной величины Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениечисла появлений события Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениев Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеиспытаниях – очень близко к нормальному.

Уже при Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеи Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениев многоугольнике биномиального распределения хорошо просматривается нормальная кривая:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
И чем больше Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, тем ближе будет сходство. Вероятность Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеможет быть и другой, но не слишком малой.

Именно этот факт мы и использовали в теоремах Лапласа – когда приближали биномиальные вероятности соответствующими значениями функций нормального распределения.

Вот такие вот пироги.

Необычайно интересной, и я бы даже сказал «сочной» получилась эта статья, что бывает далеко не всегда, но всегда вдохновляет на новое творчество! Надеюсь, вам тоже понравилось, и вы освоили весь материал «на одном дыхании».

Пример 3. Решение: т.к. случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение(диаметр подшипника) распределена нормально, то используем формулу Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, где Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– функция Лапласа. В данном случае:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника будет находиться в пределах от 1,4 до 1,6 см.

Ответ: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Пример 5. Решение: используем формулу: Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.
В данной задаче Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, таким образом:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
откуда находим:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Длина искомого интервала составляет Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Ответ: 20 мм

Пример 6. Решение: функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, где Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– математическое ожидание, Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– стандартное отклонение. В данном случае Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, следовательно:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Выполним чертёж:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
! Примечание: несмотря на то, что условие допускает схематическое построение графика, на чертеже обязательно отображаем все его принципиальные особенности, в частности, на забываем о перегибах в точках Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение.

б) Используем формулу Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, где Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– функция Лапласа.
В данной задаче Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что случайная величина Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениепримет значение из данного интервала.

в) Используем формулу Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениедля Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– вероятность того, что значение случайной величины Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределениеотклонится от её математического ожидания не более чем на 2.

г) Согласно правилу «трех сигм», практически все значения (99,73%) нормально распределенной случайной величины входят в интервал Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение. В данном случае:
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение
Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение– искомый интервал.

Ответ: а) Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, б) Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, в) Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение, г) Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Что показывает нормальное распределение. Смотреть фото Что показывает нормальное распределение. Смотреть картинку Что показывает нормальное распределение. Картинка про Что показывает нормальное распределение. Фото Что показывает нормальное распределение Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *