Что получается при умножении вектора на число

15.04.202220.04.2022 admin 0 Comments

Особенности и правила умножения вектора на число

При обучении математике и физике в старших классах средней школы, а также в высших учебных заведениях постоянно приходится сталкиваться с понятием вектора. Учащиеся и студенты обязаны уметь проводить с векторами простейшие арифметические действия.

В статье будет показано, как умножать их на постоянные числа.

Основные понятия и определения

Чтобы в дальнейшем упростить работу со статьёй, введём некоторые формулировки и договорённости:

Это интересно: Как найти разность чисел в математике?

Правила умножения вектора на число

Рассмотрим, как умножить вектор на число:

Алгебраический и геометрический смысл действия

Любое математическое действие имеет некий смысл, причём в разных науках он различается. Рассмотрим, что нам даёт этот вид умножения:

Формулы умножения

При умножении проще всего использовать заранее заученные на память формулы, которые вполне можно применять по шаблону, выполняя действия буквально на полном автомате:

Для начала возьмём физическую задачу воздействия силы на материальную точку. Пусть на неё действует сила, описываемая (АВ) (57;63;28). Как изменится эта сила по координатам при её десятикратном увеличении?

Прежде всего следует отметить, что направление воздействия силы не изменится, а сама сила возрастёт десятикратно. При раскладке по координатам получим следующее:

10*(АВ) (57;63;28) = (А1В1) (10*57;10*63;10*28) = (А1В1) (570;630;280).

Прежде всего заметим, что знак у постоянной отрицательный, следовательно, направление самой силы изменится на противоположное. Воспользуемся пунктом 2 вышеизложенных правил умножения, тогда сразу станет понятно, что численное выражение силы уменьшится вдвое. Проведём вычисления по шаблону:

-0,5*(АВ) (46;59;-43) = (А1В1) (-0,5*46;-0,5*59;-0,5*(-43)) = (А1В1) (-23;-29,5;21,5).

Следует заметить, что приведённые выше задачи решались для векторов, размещённых в пространстве и имеющих три координаты. В случае плоскостного размещения количество координат уменьшается до двух, а в случае линейного — до одной. Рассмотрим математические примеры для этих случаев:

Возможные действия с векторами

Не следует думать, что все возможные действия ограничиваются умножениям на число. Прежде всего можно определить длину (АВ) — модуль. Он будет равняться SQRT из суммы квадратов координат. Поясним это на примере:

Кроме этого, из курса школьной математики и физики известно, что вектора можно слагать один с другим и вычитать друг из друга. При этом проводится сложение и вычитание соответствующих координат.

Наконец, высшая математика вводит понятия числового (скалярного) и векторного умножения двух векторов. В первом случае получится некое число, во втором — третий вектор, направленный перпендикулярно плоскости, содержащей два первых.

В данной статье приведены основы умножения вектора на число. Исходя из её материала, можно утверждать, что действие это простое и доступное любому школьнику с удовлетворительной успеваемостью. Рекомендуется изучить формулы и в своих вычислениях действовать по изложенному в тексте шаблону. Что такое сравнение в литературе читайте в нашей статье.

Источник

Векторы на ЕГЭ по математике. Действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

Источник

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Умножение вектора на число

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Источник

Умножение вектора на число

Возможно ли умножение вектора на число

Вектор является направленным отрезком прямой, то есть представляет собой отрезок с обозначенными граничными точками, одна из которых определяет его начало, в вторая — конец.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Особенность такого действия, как умножение вектора на число заключается в том, что число является простой численной формой величины, для которого отсутствует направление, а вектор определяется в качестве направленного отрезка, обладающего численным измерением и направлением.

Подобная операция, как и вычитание, нередко используется при решении задач в математике, геометрии и физике.

В качестве примера можно рассмотреть случай из теории, при котором по дороге движутся машины в количестве двух штук. При этом скорость первого автомобиля составляет 30 км/ч, а второго — 60 км/ч. Достаточно просто определить, что вторая машина передвигается со скоростью, которая в два раза больше, чем скорость первой машины. Таким образом, скорость второго транспортного средства допустимо выразить с помощью скорости первого автомобиля путем умножения скорости первой машины на два.

Геометрическая и алгебраическая интерпретация умножения

Геометрическая интерпретация: произведением ненулевого вектора на число является вектор, который коллинеарный заданному, то есть сонаправлен данному вектору в том случае, когда число больше нуля, либо имеет противоположное направление при отрицательном значении числа, а его модель равен модулю данного вектора, умноженному на модуль числа.

Алгебраическая интерпретация: произведение ненулевого вектора на число представляет собой вектор с координатами, равными соответствующим координатам данного вектора, умноженным на число.

Яркий пример умножения вектора на число является второй закон Ньютона, который часто применяют при решении задач в физике. Если умножить обе части закона Ньютона на массу тела, то формула примет следующий вид:

Рассматриваемая формула записана в векторном виде:

В таком случае говорят не только о модулях, то есть длинах векторов. С помощью векторного вида можно определить направление вектора. Согласно рассмотренному ранее определению произведения вектора на число, результат подобной операции не влияет на направление вектора. Его нельзя повернуть на какой-либо угол путем умножения на число. Результат произведения отличается лишь длиной вектора. Таким образом, векторы \(\vec\) и \(\vec\) характеризуются одинаковым направлением, но отличается по длине. В данном случае длина векторов отличается в m раз.

Понятие, основные свойства

Вектор можно умножить на число в виде скалярной величины. При этом в результате получится тоже вектор. После операции умножения длина заданного вектора изменится:

Если вектор умножить на положительное число, полученный вектор будет обладать таким же направлением, что и первоначальный. В том случае, когда предполагается произведение вектора на отрицательное число, полученный в результате вектор будет направлен в противоположную сторону.

При произведении вектора на число, он не может быть повернут на какой-либо угол по отношению к исходному положению. Таким образом, заданный и полученный векторы параллельны друг другу.

В том случае, когда есть информация о координатах вектора, при умножении его на число следует умножить каждую координату рассматриваемого вектора на данное число.

Данная запись представляет собой координаты вектора \(\vec.\)

Формулы применяющиеся при перемножении вектора и числа

В случае умножения вектора на число удобно использовать формулу умножения, предназначенную для решения плоских задач. При этом произведение вектора \(\vec=\left\;a_ \right\>\) и какого-то числа k вычисляют по формуле:

Примеры задач с решением

В данном случае целесообразно воспользоваться формулой для решения плоских задач:

В случае пространственной задачи следует воспользоваться следующей формулой:

Подставив числовые значения, получим:

Исходя из определения, для умножения заданного вектора на число \(\lambda =2\) требуется каждую координату вектора \(\bar\) умножить на это число. Таким образом:

Согласно анализу рассмотренных закономерностей, действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями. По этому принципу требуется упростить следующую запись:

В первую очередь следует раскрыть скобки:

Далее необходимо привести подобные:

Имеется некий отрезок АВ. Точка С является серединой данного отрезка, точка О представляет собой произвольную точку плоскости. Также \(\vec=\vec\) и \(\vec=\vec.\) Требуется доказать, что:

Используя правило треугольника, можно выразить вектор \(\vec\) в виде суммы двух векторов:

Кроме того, следует отметить, что:

В результате получилась система двух уравнений:

Далее необходимо сложить уравнения системы:

Исходя из того, что С является серединой АВ, следует вывод: модули данных векторов равны, но они обладают разными направлениями. Таким образом, сумма векторов является нулевым вектором. В результате:

При делении обеих частей уравнения на 2 получим:

Следует раскрыть скобки и привести подобные:

Требуется доказать, что средняя линия трапеции и ее основания параллельны друг другу, а также средняя линия трапеции равна половине суммы оснований.

Известно, что средней линией трапеции соединены ее боковые стороны. Основания трапеции параллельны друг другу. Согласно правилу многоугольника, можно выразить вектор \vec как сумму векторов:

В результате получена система уравнений:

Следует сложить уравнения системы:

Векторы \(\vec\) и \(\vec\) обладают противоположными направлениями и в сумме дают нулевой вектор, так как М — середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, они противонаправлены. Аналогично векторы \(\vec\) и \(\vec\) дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Затем можно поделить обе части уравнения на 2:

В результате получено доказательство того, что средняя линия равна половине суммы оснований. Кроме того, прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Источник

Умножение вектора на число

Произведением вектора x на число β (x≠0, β≠0) называется вектор, модуль которого равен |x||β| и который направлен в ту же сторону, что и вектор x, если β>0, и в противоположную, если β 1

На рисунке Рис. 1 вектор x умножен на число 1.5. Полученный вектор y’ имеет то же направление, что и x т.к 1.5>0, и имеет длину 1.5 раз превысшающее длину x.

Рассмотрим процесс умножения вектора на число.

Вариант 1. Начальные точки всех векторов совпадают с началом координат.

Пусть имеется вектор

где координаты вектора x, и пусть β некоторое число. Тогда

То есть для умножения вектора на число достаточно умножить каждый координат данного вектора на это число.

На рисунке Рис. 1 вектор x имеет координаты x=(6,4). Для умножения вектора x на число 1.5, умножим каждый координат вектора x на число 1.5:

Вариант 2. Начальные точки векторов произвольные.

Пусть имеется вектор x, с начальной точкой и конечной точкой . Умножим вектор x на число β. Для этого проще всего параллельно переместить вектор x на начало координат, умножить на число, после чего параллельно переместить началную точку полученного вектора на точку A.