Что показывает мода в статистике

Наиболее часто встраивающаяся варианта

В статистике модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности.
Медианой в статистике называется варианта, которая находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам. Обозначают медиану символом.

Распределительные средние – мода и медиана, их сущность и способы исчисления.

Данные показатели относятся к группе распределительных средних и используются для формирования обобщающей характеристики величины варьирующего признака.

Мода – это наиболее часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Модой распределения называется такая величина изучаемого признака, которая в данной совокупности встречается наиболее часто, т.е. один из вариантов признака повторяется чаще, чем все другие. Для дискретного ряда (ряд, в котором значение варьирующего признака представлены отдельными числовыми показателями) модой является значение варьирующего признака обладающего наибольшей частотой. Для интервального ряда сначала определяется модальный интервал (т.е. содержащий моду), в случае интервального распределения с равными интервалами определяется по наибольшей частоте; с неравными интервалами – по наибольшей плотности, а определение моды требует проведения расчетов на основе следующих формул:

— частота модального интервала;

Для определения медианы в дискретном ряду при наличии частот, сначала исчисляется полусумма частот, а затем определяется какое значение варьирующего признака ей соответствует. При исчислении медианы интервального ряда сначала определяются медианы интервалов, а затем определяется какое значение варьирующего признака соответствует данной частоте. Для определения величины медианы используется формула:

— частота медианного интервала;

Медианный интервал не обязательно совпадает с модальным.

Моду и медиану в интервальном ряду распределения можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который в данном случае является модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс.

Источник

8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)

Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.

Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.

В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.

Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:

где х _о – начальная (нижняя) граница модального интервала;

h – величина интервала;

f_Мо – частота модального интервала;

f_Мо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Мо+1 – частота интервала следующая за модальным.

Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.

В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.

В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:

(8.17 – формула Медианы)

где х_о – нижняя граница медианного интервала;

N_Ме – порядковый номер медианы (Σf/2);

S _Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;

f_Ме – частота медианного интервала.

Пример вычисления Моды.

Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.

Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)

Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):

1) сначала находим порядковый номер медианы: N_Ме = Σf_i/2= 5000.

2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):

Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.

Если М о о следует сделать вы­вод о левосторонней асимметрии ряда.

Источник

Мода в статистике

В статистике есть целый набор показателей, которые характеризуют центральную тенденцию. Выбор того или иного индикатора в основном зависит от характера данных, целей расчетов и его свойств.

Что подразумевается под характером данных? Прежде всего, мы говорим о количественных данных, которые выражены в числах. Но набор числовых данных может иметь разное распределение. Под распределением понимаются частоты отдельных значений. К примеру, в классе из 23 человек 2 школьника написали контрольную работу на двойку, 5 – на тройку, 10 – на четверку и 6 – на пятерку. Это и есть распределение оценок. Распределение очень наглядно можно представить с помощью специальной диаграммы – гистограммы. Для данного примера получится следующая гистограмма.

Во многих случаях количество уникальных значений намного больше, а распределение похоже на нормальное. Ниже приведена примерная иллюстрация нормального распределения случайных чисел.

Итак, центральная тенденция. Если частоты анализируемых значений распределены по нормальному закону, то есть симметрично вокруг некоторого центра, то центральная тенденция определяется вполне однозначно – это есть тот самый центр, и математически он соответствует средней арифметической.

Как нетрудно заметить, в этом же центре находится и максимальная частота значений. То есть при нормальном распределении центральная тенденция есть не только средняя арифметическая, но и максимальная частота, которая в статистике называется модой или модальным значением.

На диаграмме оба значения центральной тенденции совпадают и равны 10.

Но такое распределение встречается далеко не всегда, а при малом числе данных – совсем редко. Чаще бывает так, что частоты распределяются асимметрично. Тогда мода и среднее арифметическое не будут совпадать.

На рисунке выше среднее арифметическое по-прежнему составляет 10, а вот мода уже равна 9. Что в таком случае считать значением центральной тенденции? Ответ зависит от поставленных целей анализа. Если интересует уровень, сумма отклонений от которого равна нулю со всеми вытекающим отсюда свойствами и последствиями, то это средняя арифметическая. Если нужно максимально частое значение, то это мода.

Итак, зачем нужна мода? Приведу пару примеров. Экономист планово-экономического отдела обувной фабрики интересуется, какой размер обуви пользуется наибольшим спросом. Средний размер обуви, скорее всего, здесь не подойдет, тем более, что число может получится дробным. А вот мода – как раз нужный показатель.

Расчет моды

Теперь посмотрим, как рассчитать моду. Мода – это то значение в анализируемой совокупности данных, которое встречается чаще других, поэтому нужно посмотреть на частоты значений и отыскать максимальное из них. Например, в наборе данных 3, 4, 6, 7, 3, 5, 3, 4 модой будет значение 3 – повторяется чаще остальных. Это в дискретном ряду, и здесь все просто. Если данных много, то моду легче всего найти с помощью соответствующей гистограммы. Бывает так, что совокупность данных имеет бимодальное распределение.

Без диаграммы очень трудно понять, что в данных не один, а два центра. К примеру, на президентских выборах предпочтения сельских и городских жителей могут отличаться. Поэтому распределение доли отданных голосов за конкретного кандидата может быть «двугорбым». Первый «горб» – выбор городского населения, второй – сельского.

Немного сложнее с интервальными данными, когда вместо конкретных значений имеются интервалы. В этом случае говорят о модальном интервале (при анализе доходов населения, например), то есть интервале, частота которого максимальна относительно других интервалов. Однако и здесь можно отыскать конкретное модальное значение, хотя оно будет условным и примерным, так как нет точных исходных данных. Представим, что есть следующая таблица с распределением цен.

Для наглядности изобразим соответствующую диаграмму.

Требуется найти модальное значение цены.

Вначале нужно определить модальный интервал, который соответствует интервалу с наибольшей частотой. Найти его так же легко, как и моду в дискретном ряду. В нашем примере это третий интервал с ценой от 301 до 400 руб. На графике – самый высокий столбец. Теперь нужно определить конкретное значение цены, которое соответствует максимальному количеству. Точно и по факту сделать это невозможно, так как нет индивидуальных значений частот для каждой цены. Поэтому делается допущение о том, что интервалы выше и ниже модального в зависимости от своей частоты имеют разные вес и как бы перетягивают моду в свою сторону. Если частота интервала следующего за модальным больше, чем частота интервала перед модальным, то мода будет правее середины модального интервала и наоборот. Давайте еще раз посмотрим на рисунок, чтобы понять формулу, которую я напишу чуть ниже.

На рисунке отчетливо видно, что соотношение высоты столбцов, расположенных слева и справа от модального определяет близость моды к левому или правому краю модального интервала. Задача по расчету модального значения состоит в том, чтобы найти точку пересечения линий, соединяющих модальный столбец с соседними (как показано на рисунке пунктирными линиями) и нахождении соответствующего значения признака (в нашем примере цены). Зная основы геометрии (7-й класс), по данному рисунку нетрудно вывести формулу расчета моды в интервальном ряду.

Формула моды имеет следующий вид.

x₀ – значение начала модального интервала,

h – размер модального интервала,

f_Мо – частота модального интервала,

f_Мо-1 – частота интервала, находящего перед модальным,

f_Мо1 – частота интервала, находящего после модального.

Второе слагаемое формулы моды соответствует длине красной линии на рисунке выше.

Рассчитаем моду для нашего примера.

Таким образом, мода интервального ряда представляет собой сумму, состоящую из значения начального уровня модального интервала и отрезка, который определяется соотношением частот ближайших интервалов от модального.

Расчет моды в Excel

В настоящее время большинство вычислений делается в MS Excel, где для расчета моды также предусмотрена специальная функция. В Excel 2013 я таких нашел ажно 3 штуки.

МОДА – пережиток старых изданий Excel. Функция оставлена для совмещения со старыми версиями.

МОДА.ОДН – рассчитывает моду по заданным значениям. Здесь все просто. Вставили функцию, указали диапазон данных и «Ок».

МОДА.НСК – позволяет рассчитать сразу несколько модальных значений (одинаковых максимальных частот) для одного ряда данных, если они есть. Функцию нужно вводить как формулу массива, перед этим выделив количество ячеек равное количеству требуемых модальных значений. Иногда действительно модальных значений может быть несколько. Однако для этих целей предварительно лучше посмотреть на диаграмму распределения.

Моду для интервальных данных одной функцией в Excel рассчитать нельзя. То есть такая функция в готовом виде не предусмотрена. Придется прописывать вручную.

Источник

Мода и медиана

Модой называется величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном ряду это будет варианта, имеющая наибольшую частоту.

Медиана – это варианта, расположенная в середине упорядоченного вариационного ряда. Медиана делит ряд пополам, по обе стороны от нее находится одинаковое количество единиц совокупности.

Мода используется для характеристики наиболее часто встречающегося признака в совокупности (наиболее распространенная должность в организации, наиболее распространенный размер обуви и т.д.) Иными словами мода характеризует типичность явления.

Медиана показывает количественную границу значения варьирующего признака, которую достигла половина членов совокупности. Например, средняя заработная плата наемных работников в целом по экономике Казахстана составляла 49754 тенге, в тоже время половина работающих получали заработную плату не более 43505 тенге, т.е у половины занятых наемным трудом заработная плата была меньше средней не менее чем в полтора раза!

Два ряда распределения могут иметь заметно различающиеся средние величины некоторого признака и в то же время одинаковое медианное значение. Отсюда, медиана, как и мода, также характеризует типичность признака.

Нахождение моды и медианы в дискретном вариационном ряду.

Рассмотрим распределение семей в некотором населенном пункте по количеству детей

Модой в этом примере будет семья, имеющая двоих детей, так как этому значению варианты соответствует наибольшее число семей.

Если распределение равномерное, где все варианты встречаются одинаково част, то говорят, что ряд не имеет моды, или, иначе, что все варианты одинаково модальны.

Могут быть случаи, когда две варианты встречаются одинаково часто. Тогда говорят, что распределение бимодально. Для нахождения медианы необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату прибавить 0,5. В нашем случае это будет 101 варианта (201/2+ 0,5). Данная варианта находится в группе семей с двумя детьми, т.е. медианой будет семья, имеющая двух детей.

Если в ряду имеется четное количество частот (например, 200), то номер медианной варианты будет дробным (для 200 будет 200,5). В этом случае медиана находится между 100 и 101 вариантами, а ее значение будет равно средней из значений этих двух вариант.

Расчет моды в интервальном вариационном ряду. В моде и медиане не погашаются индивидуальные отклонения. Они всегда соответствуют определенной варианте. Если имеются все значения признака, то не требуется проводить расчеты для определения моды и медианы. Однако в интервальном вариационном ряду для нахождения приближенного значения моды и медианы в пределах определенного интервала прибегают к расчетам.

Ряд распределения рабочих по заработной плате

Модальным интервалом здесь является интервал, где варианта лежит в пределах от 44-до 46 тыс. тенге, поскольку наибольшее количество рабочих имеют заработную плату именно в этих пределах. Для расчета определенного значения модальной величины признака, заключенного в этом интервале, применяют такую формулу:

Минимальная граница модального интервала (в примере 44000);

Частота интервала, предшествующего модальному (115);

Частота модального интервала (180);

Частота интервала, следующего за модальным (45)

Рассчитаем значение моды для нашего примера:

Мо= 34000+ 2000* (180- 115)/ [(180-115)+(180-45)]=34000+2000* 65/200= 34000+2000*0?325= 34650 тенге.

Смысл формулы заключается в том, что величину той части модального интервала, которую нужно добавить к его минимальной границе, определяют в зависимости от величины частот предшествующего и последующего интервалов. В данном случае к 34000 прибавляем 650, т.е. меньше половины интервала (2000), потому что частота предшествующего интервала (115) больше частоты последующего интервала(45).

Расчет медианы в интервальном вариационном ряду. Для исчисления медианы сначала необходимо определить интервал, в котором она находится (медианный интервал). Это интервал, кумулятивная частота которого будет превышать половину суммы частот. Половина частот в нашем случае равна 250(500/2). Суммируя последовательно частоты в ряду, мы превысим середину суммы частот на четвертом интервале (10+ 50+100+115= 275), т.е. медианным у нас будет интервал 32000-34000 тенге. До этого интервала сумма частот составила 160. Для получения медианы необходимо прибавить еще 90 единиц (250-160).

При определении медианы предполагают, что значение единиц в границах распределяется равномерно. Следовательно, если 115 единиц, находящихся в этом интервале, распределяется равномерно в интервале, равном 2000, то 90 единицам будет соответствовать следующая его величина:

Прибавив полученную величину к минимальной границе медианного интервала, получим искомое значение медианы:

Ме= 32000+1560= 33560 тенге.

Формула для исчисления медианы для интервального вариационного ряда будет иметь вид: Ме= Х_Ме +I_Ме *(∑f/2-S _Ме-1) / f_Ме

Где Х_Ме— начальное значение медианного интервала;

I_Ме— величина медианного интервала;

(∑f – сумма частот ряда(численность ряда);

S _Ме-1 – сумма накопленных частот в интервалах, предшествующих медианному;

f_Ме— частота медианного интервала.

Рассчитаем медиану для нашего случая:

Ме= 32000+2000- (500/2_ 160)/115= 33560 тенге.

Таким образом, для нашего примера средняя арифметическая равна 33160, мода – 34650, медиана – 33560 тенге. Соотношение этих трех величин указывает направление и степень ассиметрии распределения.

Квартили и децили. Дополнительно к медиане для характеристики структуры вариационного ряда исчисляют квартили, делящие ряд по сумме частот на четыре равные части, и децили, которые делят ряд по сумме частот на 4 равные части, и децили, которые делят ряд по сумме на 10 равных частей.

Второй квартиль равен медиане, а первый и третий исчисляются аналогично расчету медианы, только вместо медианного интервала берется для первого квартиля интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот, а для третьего квартиля – варианта, отсекающая ¾ численности частот. Рассчитаем для нашего примера первый и третий квартили:

Следовательно, заработная плата каждого четвертого рабочего превышает 35110 тенге (или у трех четвертей рабочих она не превышает 35110 тенге).

Основные правила применения средних в статистике.

Общие требования. Средние должны относится к явлениям одного и того же вида и базироваться на массовом обобщении фактов. Только тогда они отражают сущность явления и на их значение не оказывают влияние случайные факторы. Это требование в статистике связывает средние с законом больших чисел.

Второе требование к средним в статистике заключается в качественной однородности совокупности. Из этого следует, что нельзя применять средние к такой совокупности, отдельные части которой подчинены различным закона развития в отношении осредняемого признака. Качественно однородные совокупности выделяются с помощью метода группировки.

Общие и групповые средние. Даже в пределах однородной совокупности количественные различия могут носить не случайный, а систематический характер. Поэтому наряду с общей средней всей совокупности вычисляются групповые средние. Например, динамика урожайности сельскохозяйственной культуры может показывать тенденцию ее снижения. Однако она может быть обусловлена различиями почвенно-климатических и других условий в разных регионах. Группируя районы страны по этим признакам, можно обнаружить, что динамика средней урожайности в отдельных районах либо не изменяется, либо возрастает, а уменьшение общей средней в целом по стране обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем объеме производства этой сельскохозяйственной культуры. То есть динамика групповых средних более полно отразила закономерность изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь ее общий результат.

Средние величины и ряды распределения. Метод средних, дополненный рядами распределения, становится значительно богаче для анализа закономерностей. Средние в статистике следует применять на основе и в органическом единстве с методом группировок. Метод группировок позволяет отграничить качественно однородные совокупности для применения средних характеристик, дополнить общую среднюю групповыми средними, дополнить средние характеристики рядами распределения. Часто за общими, сравнительно благополучными средними скрываются показатели плохой работы на отдельных предприятиях, тяжелой ситуации в отдельных социально-демографических группах населения. Не видны и положительные результаты. Поэтому общие средние дополняются групповыми средними, а групповые средние дополняются минимальными и максимальными показателями в группах. То есть должны изучаться и индивидуальные величины. Отсутствие каких-либо качественных ограничений в расчете средних приводит к тому, что они нередко исчисляются в отрыве от сущности явлений. Так, в среднем доходы населения могут расти. В то же время может расти неравенство в их распределении, а число бедных, имеющих доходы ниже прожиточного минимума, не уменьшатся.

Средние в статистике следует применять на основе и в органическом единстве с методом группировок. Метод группировок позволяет отграничить качественно однородные совокупности для использования средних характеристик. Группировки позволяют избежать применения фиктивных средних и сделать более глубокий анализ с помощью групповых средних.

Источник