Что означает решить неравенство

Решение линейных неравенств

Основные понятия

Алгебра не всем дается легко с первого раза. Чтобы не запутаться во всех темах и правилах, важно изучать темы последовательно и по чуть-чуть. Сегодня узнаем, как решать линейные неравенства.

Линейные неравенства — это неравенства вида:

где a и b — любые числа, a ≠ 0, x — неизвестная переменная. Как решаются неравенства рассмотрим далее в статье.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти все значения переменной, при которой неравенство верное.

Типы неравенств

Линейные неравенства: свойства и правила

Вспомним свойства числовых неравенств:

Если же а b и c > d, то а + c > b + d.

Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).

Если же а > b, n — отрицательное число, то nа

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак неравенства поменять на противоположный.

Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а2 > b2, и если а b, где а, b > 0, то
b» height=»45″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/MuRDPQeqxIZvVG_mHVaktFp6nlIEEbz8zdRs1ZW8CZbZacJrS4aKzrDyhKxXpJvc35TSAgiRpqr-63sGzL9_sPU80vFhR0ZDAmSmRFZtwEldDkWRttfSGuaJJIb7xWxZDugU3xTt»>

Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое трансформирует его в верное числовое неравенство.

Чтобы упростить процесс нахождения корней неравенства, нужно провести равносильные преобразования — то заменить данное неравенство более простым. При этом все решения должны быть сохранены без возникновения посторонних корней.

Свойства выше помогут нам использовать следующие правила.

Правила линейных неравенств

Решение линейных неравенств

Линейные неравенства с одной переменной x выглядят так:

где a и b — действительные числа. А на месте x может быть обычное число.

Равносильные преобразования

Рассмотрим пример: 0 * x + 5 > 0.

Как решаем:

Метод интервалов

Метод интервалов можно применять для линейных неравенств, когда значение коэффициента x не равно нулю.

Метод интервалов заключается в следующем:

Если a ≠ 0, тогда решением будет единственный корень — х₀;

Для этого найдем значения функции в точках на промежутке;

Как решаем:

В соответствии с алгоритмом, сначала найдем корень уравнения − 6x + 12 = 0,

Изобразим координатную прямую с отмеченной выколотой точкой, так как неравенство является строгим.

Определим знаки на промежутках.

Чтобы определить на промежутке (−∞, 2), необходимо вычислить функцию y = −6x + 12 при х = 1. Получается, что −6 * 1 + 12 = 6, 6 > 0. Знак на промежутке является положительным.

Графический способ

Смысл графического решения неравенств заключается в том, чтобы найти промежутки, которые необходимо изобразить на графике.

Алгоритм решения y = ax + b графическим способом

Рассмотрим пример: −5 * x − √3 > 0.

Как решаем

Ответ: (−∞, −√3 : 5) или x

Источник

Решение неравенств

Определение и формулы неравенств

Знаки > называются знаками строгого неравенства, а знаки — знаками нестрогого неравенства.

Если в неравенство входят только числовые величины, то такое неравенство называется числовым неравенством.

Решить неравенство — это значит найти множество всех его решений

Неравенства называют равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Основные правила, применяемые при решении неравенств

Если требуется все общие решения двух или нескольких неравенств, то решают систему неравенств. Как и систему уравнений, систему неравенств записывают с помощью фигурной скобки. Решение системы неравенств есть пересечение решений всех входящих в нее неравенств.

Одним из основных методов решения неравенств является метод интервалов.

Примеры решения неравенств

Ответ

0 \]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

0,> \\ 0,> \end\right. > \\ <\left\<\begin

Решим каждую систему неравенств отдельно:

2.

Объединим полученные решения и запишем решение исходного неравенства .

Источник

Решение линейных неравенств

Прежде чем перейти к определению и решению неравенств давайте вспомним, какие знаки используют в математике для сравнения величин.

Символ	Название	Тип знака
>	больше	строгий знак (число на границе не включается )
строгий знак (число на границе не включается )
≥	больше или равно	нестрогий знак (число на границе включается )
≤	меньше или равно	нестрогий знак (число на границе включается )

Теперь мы можем разобраться, что называют линейным неравенством и чем неравенство отличается от уравнения.

В отличии от уравнения в неравенстве вместо знака равно « = » используют любой знак сравнения: « > », « », « ≤ » или « ≥ ».

Линейным неравенством называют неравенство, в котором неизвестное стоит только в первой степени.

Рассмотрим пример линейного неравенства.

Как решить линейное неравенство

Чтобы решить неравенство, нужно чтобы в левой части осталось только неизвестное в первой степени с коэффициентом « 1 ».

При решении линейных неравенств используют правило переноса и правило деления неравенства на число.

Правило переноса в неравенствах

Также как и в уравнениях, в неравенствах можно переносить любой член неравенства из левой части в правую и наоборот.

Вернемся к нашему неравенству и используем правило переноса.

Для того, чтобы понять, что получается при решении неравенства, нам нужно вспомнить, понятие числовой оси.

Нарисуем числовую ось для неизвестного « x » и отметим на ней число « 14 ».

При нанесении числа на числовую ось соблюдаются следующие правила:

Заштрихуем на числовой оси по полученному ответу « x » все решения неравенства, то есть область слева от числа « 14 ».

Рисунок выше говорит о том, что любое число из заштрихованной области при подстановке в исходное неравенство « x − 6 » даст верный результат.

Возьмем, например число « 12 » из заштрихованной области и подставим его вместо « x » в исходное неравенство « x − 6 ».

Другими словами, можно утверждать, что любое число из заштрихованной области будет являться решением неравенства.

Решить неравенство — это значит найти множество чисел, которые при подстановке в исходное неравенство дают верный результат.

Решением неравенства называют множество чисел из заштрихованной области на числовой оси.

В нашем примере ответ « x » можно понимать так: любое число из заштрихованной области (то есть любое число меньшее « 14 ») будет являться решением неравенства « x − 6 ».

Правило умножения или деления неравенства на число

Рассмотрим другое неравенство.

Используем правило переноса и перенесём все числа без неизвестного, в правую часть.

Теперь нам нужно сделать так, чтобы при неизвестном « x » стоял коэффициент « 1 ». Для этого достаточно разделить и левую, и правую часть на число « 2 ».

При умножении или делении неравенства на число, на это число умножается (делится) и левая, и правая часть.

Разделим « 2x > 16 » на « 2 ». Так как « 2 » — положительное число, знак неравенства останется прежним.

Рассмотрим другое неравенство.

Разделим неравенство на « −3 ». Так как мы делим неравенство на отрицательное число, знак неравенства поменяется на противоположный.

Источник

Метод интервалов, решение неравенств

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение квадратного неравенства

Числовое неравенство — это такое неравенство, в записи которого по обе стороны от знака находятся числа или числовые выражения.

Решение — значение переменной, при котором неравенство становится верным.

Решить неравенство значит найти множество, для которых оно выполняется.

Квадратное неравенство выглядит так:

Квадратное неравенство можно решить двумя способами:

Решение неравенства графическим методом

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Чтобы найти корни, нужно найти дискриминант данного уравнения.

Как дискриминант влияет на корни уравнения:

Решение неравенства методом интервалов

Метод интервалов — это специальный алгоритм, который предназначен для решения рациональных неравенств.

Рациональное неравенство имеет вид f(x) ≤ 0, где f(x) — рациональная функция. При этом знак может быть любым: >, или ≥ — наносим штриховку над промежутками со знаками +.

Если неравенство со знаком

Плюс или минус: как определить знаки

Можно сделать вывод о знаках по значению старшего коэффициента a:

если a > 0, последовательность знаков: +, −, +,

если a 0, последовательность знаков: +, +,

Теперь мы знаем пошаговый алгоритм. Чтобы закрепить материал потренируемся на примерах и научимся использовать метод интервалов для квадратных неравенств.

Неравенство примет вид:

В этом весь смысл метода интервалов: определить интервалы значений переменной, на которых ситуация не меняется и рассматривать их как единое целое.

Отобразим эти данные на чертеже:

2 3 — на этом интервале ситуация не изменяется. Значит нужно взять любое значение из этого интервала и подставить его в произведение. Например: х = 25.

Удовлетворяющие неравенству точки закрасим, а не удовлетворяющие — оставим пустыми.

Пример 2. Применить метод интервалов для решения неравенства х2+4х+3

Источник

Решение неравенств

Содержание:

Неравенство — это отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков.

Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной

Пусть дано неравенство f(x) > g(x). Всякое значение переменной х, при котором данное неравенство, обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 3.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства равносильны по теореме 1. Неравенства и равносильны по теореме 2 (обе части

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 2 и 3.

Теорема 4.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Графическое решение неравенств с одной переменной

Для графического решения неравенства f(x) > g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и выбрать те участки оси абсцисс, на которых график функции у = f(x) расположен выше графика функции у = g(x).

Пример:

Решить графически неравенство

Решение:

Построим в одной системе координат графики функций (рис. 1.113).

Из рисунка видно, что график функции расположен выше графика функции при х > 2.

Ответ:

Линейные неравенства с одной переменной

Линейным называют неравенство вида (или соответственно ). Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 2); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство равносильно неравенству (см. теорему 3); значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство принимает вид ; оно не имеет решений, если , и верно при любых х, если b З и Зх-2 может быть и любой другой знак неравенства), где р(х) и q(x) — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим выражение , где Если х > d, то каждый из множителей положителен и, следовательно, на промежутке имеем h(x) > 0. Если с 0 и т. д. (рис. 1.124).

Изменение знаков h(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 1.125). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h(x) > 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем h(x) g(x). В случае же, когда , неравенство равносильно неравенству противоположного смысла f(х) g(x). В случае же, когда , от исходного неравенства следует перейти к неравенству противоположного смысла f(х) 0 и g(x) > 0.

Таким образом, неравенство при равносильно системе неравенств

а при равносильно системе неравенств

Заметим, что систему (1) можно упростить: неравенство f(x) > 0 вытекает из неравенств f(x) > g(x), g(x) > 0, поэтому неравенство f(x) > 0 можно опустить, т. е. переписать систему (1) в виде

Аналогично, систему (2) можно переписать в виде

Пример 1.

Решить неравенство

Решение:

Так как , то данное неравенство можно переписать в виде Далее имеем

откуда

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

С помощью координатной прямой (рис. 1.128) устанавливаем, что множество решений последней системы, а значит, и заданного неравенства есть интервал (3; 8).

Иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства принимают на некотором множестве X только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X).

Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства и решением неравенства g(x) > 0 (из неравенства (1) следует, что ). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Итак, неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

(2)

Как и выше, заключаем, что , но в отличие от предыдущего случая здесь g(x) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: g(x) 0.

Решение:

Построим график функции у = sin х и выберем на оси х значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси х, является интервал (рис. 1.129), а всего таких интервалов будет бесконечно много,

причем в силу периодичности функции у = sin х каждый из них получается из сдвигом по оси х на Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида Это можно записать так:

Пример 2.

Решить неравенство

Решение:

Построим график функции у = cos х и проведем прямую Нас интересуют те значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой Одним из нужных нам промежутков является интервал (рис. 1.130).

Воспользовавшись периодичностью функции у = cos х, запишем ответ:

Пример 3.

Решить неравенство .

Решение:

Одним из нужных нам промежутков является (рис. 1.131), а всего таких промежутков будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции у = tg х каждый получается из сдвигом по оси х на Это позволяет записать решение следующим образом:

Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

Рассмотрим неравенство f(x; у) > g(x; у). Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает неравенство с переменными в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х + у — 1 > 0.

Решение:

Пример 2.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства

Решение:

Преобразуем неравенство к виду . Построим на координатной плоскости параболу — график функции .

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы , больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе и выше нее (рис. 1.133).

Пример 3.

Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Неравенства и их геометрическое содержание

Метод координат позволяет геометрически толковать не только уравнения, а так же и неравенства.

Потому как мы говорим, что уравнение с двумя переменными и обозначает на плоскости некоторую линию, можно сказать, что неравенство с двумя переменными и обозначается множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Таким образом геометрически толковать и неравенство

Если выражение является линейным, то есть где — постоянные, то мы получим линейное уравнение

и два линейные неравенства

Выберем какую нибудь точку. подставим ее координаты в неравенство, что проверяется.

Если координаты точки удовлетворяют неравенству, то неравенство обозначает ту плоскость, в которой находится выбранная точка: если же координаты точки не удовлетворяют неравенство, то неравенство обозначает плоскость, которая не содержит выбранной точки.

Пример:

Записать с помощью неравенства ту полуплоскость, в которой лежит точка и границей которой прямая Проверить, лежит в этой же полуплоскости начало координат.

Решение. Подставим координаты точки в левую часть уравнения заданной прямой: Полученная величина положительна. Следует, точка не принадлежит на заданной прямой, а искомая плоскость обозначается неравенством

Студенту рекомендовано сделать рисунок и решить самостоятельно вторую часть примера.

Можно рассмотреть также систему неравенств:

Областью решения системы неравенств называется множество всех точек, координаты каждой из них удовлетворяют всем неравенствам системы.

пересечением нескольких множеств точек называется множество точек, каждая из которых принадлежим всем множествам, что пересекаются. Очевидно, областью решения системы неравенства служит пересечение областей решения каждой из неравенства системы.

Областью решений, системы линейных уравнений

является, очевидно пересечение полуплоскостей, что обозначается каждой из неравенств системы. Эта область может быть и пустым множеством, то есть множеством, которая не содержит ни одной точки.

Если же это множество точек не пустое, то она обозначается многоугольной областью. Если кроме того, эта область ограничена, то есть не содержит точек как и при большим значением координат, то ее называют началом многоугольника.

Пример:

Записать с помощью системы неравенств множество точек, что лежат посередине треугольника с вершинами

Решение. Студенту рекомендовано выполнить рис., очевидно, множество всех внутренних точек треугольника можно рассмотреть как пересечение трех полуплоскостей, из которых первая ограничена прямой и содержит точку вторая ограничена прямой и содержит точку

найдем неравенство, что обозначает первую из этих полуплоскостей. Сложим уравнение прямой зная координаты точек и

или

Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки получим Следует, первая полуплоскость обозначается неравенством

Аналогично, плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

А плоскость, что ограничена прямой и содержит точку обозначается неравенством:

Следует множество всех внутренних точек треугольника обозначается системой неравенств

Если вместо строгих неравенств ( или ) рассматривать не строгие неравенства ( или ), то обозначенная ими область включается и границы этих полуплоскостей.

Например, область решений неравенств:

является область, что ограничена треугольником включая ее как внутренние, так и граничные точки, то есть и точки отрезков

Примеры решения задач:

Задача 2.121.

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенств, по двум точкам, что соответствуют этим прямым

Задача 2.122 Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Построим граничные прямые, что соответствуют данным неравенствам:

Задача 2.123

Построить область решений системы линейных неравенств:

Решение. Строим граничные прямые:

Строим область решений каждого неравенства (рис. 2.23).

Не существует ни одной точки для всех плоскостей, что соответствуют данным уравнениям. Следует, область решений пустая. Система неравенств несовместима.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

• ← Что означает решить кейс
• Что означает решить проблему радикально →